Question

1．已知拋物線C：x²=3y上兩點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)恰是方程x²+5x+1=0的兩個(gè)實(shí)根，則直線AB的方程是y=-$\frac{5}{3}$x-$\frac{1}{3}$，弦AB中點(diǎn)到拋物線C的準(zhǔn)線距離為$\frac{55}{12}$．

Answer 1

分析 設(shè)AB方程為y=kx+b，與拋物線方程聯(lián)立消去y所得方程與方程x²+5x+1=0同解，即可得出k，b，從而得出AB的方程，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而得出M到拋物線的準(zhǔn)線的距離．

解答 解：設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=3y}\\{y=kx+b}\end{array}\right.$，消去y得：x²-3kx-3b=0．
又∵A，B的橫坐標(biāo)恰是方程x²+5x+1=0的兩個(gè)實(shí)根，
∴-3k=5，-3b=1，即k=-$\frac{5}{3}$，b=-$\frac{1}{3}$．
∴直線AB的方程為y=-$\frac{5}{3}x-\frac{1}{3}$．
設(shè)AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為M（x₀，y₀），則x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{5}{2}$．
∴y₀=-$\frac{5}{3}{x}_{0}$-$\frac{1}{3}$=$\frac{23}{6}$．
又拋物線的準(zhǔn)線方程為y=-$\frac{3}{4}$，
∴M到準(zhǔn)線的距離為$\frac{23}{6}+\frac{3}{4}$=$\frac{55}{12}$．
故答案為：$y=-\frac{5}{3}x-\frac{1}{3}$，$\frac{55}{12}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的關(guān)系，屬于中檔題．