Question

8．閱讀下列命題：
①若點(diǎn)P（a，2a） （a≠0）為角α終邊上一點(diǎn)，則sin α=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
②同時(shí)滿足sin α=$\frac{1}{2}$，cos α=$\frac{\sqrt{3}}{2}$的角有且只有一個(gè)；
③設(shè)tan α=$\frac{1}{2}$且π＜α＜$\frac{3π}{2}$，則sin α=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
④函數(shù)y=sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{2}$）是偶函數(shù)
其中正確命題的序號是③④．

Answer 1

分析 ①根據(jù)a的正負(fù)，利用任意角的三角函數(shù)定義計(jì)算得到結(jié)果，即可找出判斷；
②利用特殊角的三角函數(shù)值及誘導(dǎo)公式判斷即可得到結(jié)果；
③由tanα的值及α的范圍，利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系求出cosα的值，進(jìn)而求出sinα的值，即可做出判斷；
④利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式變形即可判斷函數(shù)的奇偶性．

解答 解：①若點(diǎn)P（a，2a）（a≠0）為角α終邊上一點(diǎn)，
則當(dāng)a＞0時(shí)，sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；當(dāng)a＜0時(shí)，sinα=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，故①錯(cuò)誤；
②同時(shí)滿足sinα=$\frac{1}{2}$，cosα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$的角有無數(shù)個(gè)，此時(shí)α=2kπ+$\frac{π}{6}$，故②錯(cuò)誤；
③設(shè)tanα=$\frac{1}{2}$且π＜α＜$\frac{3π}{2}$，可得cosα=-$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}α}}$=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
則sinα=-$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，故③正確；
④函數(shù)y=sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{2}$）=cos$\frac{2}{3}x$是偶函數(shù)，故④正確．
∴正確命題的序號是③④．
故答案為：③④．

點(diǎn)評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，考查y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是中檔題．