Question

19．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{m}{x}$，且f（1）=5．
（1）判斷函數(shù)f（x）在（2，+∞）上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明你的結(jié)論．
（2）若f（x）≥a對于x∈[4，+∞）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（1）=1+m=5，得m=4，從而f′（x）=1-$\frac{4}{{x}^{2}}$，進而函數(shù)f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增，利用定義法能證明函數(shù)f（x）在（2，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)；
（2）由f′（x）=1-$\frac{4}{{x}^{2}}$，得函數(shù)f（x）在[4，+∞）上單調(diào)遞增，從而x∈[4，+∞）時，f（x）≥f（4）=4+$\frac{4}{4}$=5，由此能求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=x+$\frac{m}{x}$，且f（1）=5，
∴f（1）=1+m=5，解得m=4，
∴f（x）=x+$\frac{4}{x}$，∴f′（x）=1-$\frac{4}{{x}^{2}}$，
x∈（2，+∞）時，f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增．
證明：在（2，+∞）上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）=（${x}_{2}+\frac{4}{{x}_{2}}$）-（${x}_{1}+\frac{4}{{x}_{1}}$）
=（x₂-x₁）+$\frac{4}{{x}_{2}}-\frac{4}{{x}_{1}}$）
=（x₂-x₁）+$\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}$（x₁-x₂）
=（1-$\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}$）（x₂-x₁）＞0，
∴函數(shù)f（x）在（2，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．
（2）∵f′（x）=1-$\frac{4}{{x}^{2}}$，
x∈[4，+∞）時，f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）在[4，+∞）上單調(diào)遞增，
∴x∈[4，+∞）時，f（x）≥f（4）=4+$\frac{4}{4}$=5，
∵f（x）≥a對于x∈[4，+∞）恒成立，
∴實數(shù)a的取值范圍是（-∞，5]．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)的判斷與證明，考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．