Question

14．實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足$\frac{{a}^{2}-2lna}$=1，c-$\frac{4}{3}$=$\frac{1}{3}$d，則（a-c）²+（b-d）²的最小值為（　�。�

• A． $\frac{1}{10}$
• B． $\frac{2}{5}$ln2
• C． $\frac{2}{5}$（1-ln2）²
• D． $\frac{（9-2ln3）^{2}}{10}$

Answer 1

分析 由題意可知點(diǎn)P（a，b）是曲線f（x）=x²-2lnx（x＞0）上的點(diǎn)，Q（c，d）是直線y=3x-4上的點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，過(guò)曲線y=x²-2lnx上的點(diǎn)P（a，b）且與線y=3x-4平行時(shí)，|PQ|²=（a-c）²+（b-d）²有最小值．

解答 解：∵$\frac{{a}^{2}-2lna}$=1，c-$\frac{4}{3}$=$\frac{1}{3}$d，
∴點(diǎn)P（a，b）是曲線f（x）=x²-2lnx（x＞0）上的點(diǎn)，Q（c，d）是直線y=3x-4上的點(diǎn)，$\frac{2（1-ln2）}{\sqrt{10}}$
∴|PQ|²=（a-c）²+（b-d）²．
要使|PQ|²最小，當(dāng)且僅當(dāng)過(guò)曲線y=x²-2lnx上的點(diǎn)P（a，b）且與y=3x-4平行時(shí)．
∵f′（x）=2x-$\frac{2}{x}$（x＞0），
由f′（x）＞0得，x＞1；由f′（x）＜0得0＜x＜1．
∴當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得極小值．
由2x-$\frac{2}{x}$=3，可得x=2（負(fù)值舍去）
∴點(diǎn)P（2，4-2ln2）到直線y=3x-4的距離為d=$\frac{|6-4+2ln2-4|}{\sqrt{10}}$=$\frac{2（1-ln2）}{\sqrt{10}}$，則d²=$\frac{2}{5}$（1-ln2）²．
∵|PQ|²≥d²=$\frac{2}{5}$（1-ln2）²．
∴（a-c）²+（b-d）²的最小值為$\frac{2}{5}$（1-ln2）²．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)最值的應(yīng)用，分析得到點(diǎn)P（a，b）是曲線y=x²-2lnx上的點(diǎn)，Q（c，d）是直線y=3x-4上的點(diǎn)，|PQ|²=（a-c）²+（b-d）²是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查理解題意與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及點(diǎn)到直線間的距離，屬于難題．