Question

14．實數a，b，c，d滿足$\frac{{a}^{2}-2lna}$=1，c-$\frac{4}{3}$=$\frac{1}{3}$d，則（a-c）²+（b-d）²的最小值為（　�。�

• A． $\frac{1}{10}$
• B． $\frac{2}{5}$ln2
• C． $\frac{2}{5}$（1-ln2）²
• D． $\frac{（9-2ln3）^{2}}{10}$

Answer 1

分析 由題意可知點P（a，b）是曲線f（x）=x²-2lnx（x＞0）上的點，Q（c，d）是直線y=3x-4上的點，由導數的幾何意義可知，過曲線y=x²-2lnx上的點P（a，b）且與線y=3x-4平行時，|PQ|²=（a-c）²+（b-d）²有最小值．

解答 解：∵$\frac{{a}^{2}-2lna}$=1，c-$\frac{4}{3}$=$\frac{1}{3}$d，
∴點P（a，b）是曲線f（x）=x²-2lnx（x＞0）上的點，Q（c，d）是直線y=3x-4上的點，$\frac{2（1-ln2）}{\sqrt{10}}$
∴|PQ|²=（a-c）²+（b-d）²．
要使|PQ|²最小，當且僅當過曲線y=x²-2lnx上的點P（a，b）且與y=3x-4平行時．
∵f′（x）=2x-$\frac{2}{x}$（x＞0），
由f′（x）＞0得，x＞1；由f′（x）＜0得0＜x＜1．
∴當x=1時，f（x）取得極小值．
由2x-$\frac{2}{x}$=3，可得x=2（負值舍去）
∴點P（2，4-2ln2）到直線y=3x-4的距離為d=$\frac{|6-4+2ln2-4|}{\sqrt{10}}$=$\frac{2（1-ln2）}{\sqrt{10}}$，則d²=$\frac{2}{5}$（1-ln2）²．
∵|PQ|²≥d²=$\frac{2}{5}$（1-ln2）²．
∴（a-c）²+（b-d）²的最小值為$\frac{2}{5}$（1-ln2）²．
故選：C．

點評 本題考查函數最值的應用，分析得到點P（a，b）是曲線y=x²-2lnx上的點，Q（c，d）是直線y=3x-4上的點，|PQ|²=（a-c）²+（b-d）²是關鍵，也是難點，考查理解題意與等價轉化思想的綜合應用，考查導數的幾何意義及點到直線間的距離，屬于難題．