Question

3．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=kn²+bn（k≠0），a₁，a₃，a₄成等比數(shù)列，則滿足18a_n=7S_n的n值為12．

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=kn²+bn（k≠0），可得a₁=S₁=k+b，n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2kn-k+b．利用a₁，a₃，a₄成等比數(shù)列，可得${a}_{3}^{2}={a}_{1}{a}_{4}$，代入化為：9k+b=0．根據(jù)18a_n=7S_n，代入解出即可得出．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=kn²+bn（k≠0），∴a₁=S₁=k+b，n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=kn²+bn-[k（n-1）²+b（n-1）]=2kn-k+b．
∵a₁，a₃，a₄成等比數(shù)列，
∴${a}_{3}^{2}={a}_{1}{a}_{4}$，∴（5k+b）²=（k+b）（7k+b），化為：9k+b=0．
∵18a_n=7S_n，∴18（2kn-k+b）=7（kn²+bn），
把b=-9k代入可得：7n²-99n+180=0，
解得n=12．
故答案為：12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式的關(guān)系、遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．