Question

已知圓過(guò)定點(diǎn)，圓心在拋物線上，、為圓與軸的交點(diǎn)．

（Ⅰ）當(dāng)圓心是拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，求拋物線準(zhǔn)線被該圓截得的弦長(zhǎng)．

（Ⅱ）當(dāng)圓心在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否為一定值？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

（Ⅲ）當(dāng)圓心在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記，，求的最大值，并求出此時(shí)圓的方程．

 

Answer 1

（1）；（2）見(jiàn)解析； （3）

【解析】

試題分析：（1）先求出拋物線的準(zhǔn)線方程，圓的方程，再利用勾股定理求拋物線準(zhǔn)線被該圓截得的弦長(zhǎng)；（2）求出的坐標(biāo)，再計(jì)算，即可得出結(jié)論；（3）求出，表示出分類討論，利用基本不等式求最大值，從而可得圓C的方程．

 

試題解析：（1）拋物線的頂點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，圓的半徑等于1，圓的方程為．弦長(zhǎng)

（2）設(shè)圓心，則圓的半徑，

圓的方程是為：

令，得，得，，

是定值．

（3）由（2）知，不妨設(shè)，，，．

．

當(dāng)時(shí)，．

當(dāng)時(shí)，．

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立

所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)圓的方程為．

考點(diǎn)：圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系 ．