已知函數(shù)f(x)=log2(x+
a
x
-2),其中常數(shù)a>0.
(1)求函數(shù)f(x)的定義域;
(2)若對任意x∈[2,+∞),恒有f(x)>0,試確定a的取值范圍;
(2)記函數(shù)f(x)在[2,+∞)上的最小值為g(a),求關(guān)于a的方程g(a)=m的解(用m表示).
考點(diǎn):對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)恒成立問題
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:(1)得出x+
a
x
-2=
x2-2x+a
x
>0,分類討論求解即可.
(2)分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)求解a>-x2+3x=-(x-
3
2
2+
9
4
,得出a>2.
(3)求出函數(shù)關(guān)系式g(a)=
log2
a
2
,a<4
log2(2
a
-2),a≥4
分段解方程即可解得a=
2m+1,m<1
(2m-1+1)2,m≥1
解答: 解:(1)x+
a
x
-2=
x2-2x+a
x
>0,
若a>1,定義域?yàn)閧x|x>0};
若a=1,定義域?yàn)閧x|x>0且x≠1};
若0<a<1,
定義域?yàn)閧x|x>1+
1-a
或0<x<1-
1-a
}.
(2)x+
a
x
-2=
x2-2x+a
x
>0,(x≥2),
∴a>-x2+3x=-(x-
3
2
2+
9
4
,∴a>2.
(3)g(a)=
log2
a
2
,a<4
log2(2
a
-2),a≥4

,解得a=
2m+1,m<1
(2m-1+1)2,m≥1
點(diǎn)評:本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì),運(yùn)用不等式,最值問題求解,屬于中檔題,關(guān)鍵是恒等變形,構(gòu)造函數(shù).
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖是一個(gè)正方體的平面展開圖,則在正方體中,①CN與BE是異面直線;②平面DEM∥平面ACF;③DE⊥BM; ④AF與BM所成角為60°;⑤BN⊥平面AFC,在以上的五個(gè)結(jié)論中,正確的是
 
(寫出所有正確結(jié)論的序號).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=|x-1|-|2x+3|,則滿足f(x)≤1的x的取值范圍是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

最近,張師傅和李師傅要將家中閑置資金進(jìn)行投資理財(cái).現(xiàn)有兩種投資方案,且一年后投資盈虧的情況如下:
(1)投資股市:
投資結(jié)果獲利不賠不賺虧損
概  率
1
2
1
8
3
8
(2)購買基金:
投資結(jié)果獲利不賠不賺虧損
概  率p
1
3
q
(Ⅰ)當(dāng)p=
1
2
時(shí),求q的值;
(Ⅱ)已知“購買基金”虧損的概率比“投資股市”虧損的概率小,求p的取值范圍;
(Ⅲ)已知張師傅和李師傅兩人都選擇了“購買基金”來進(jìn)行投資,假設(shè)三種投資結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同,求一年后他們兩人中至少有一人獲利的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知{an}是公差不為0的等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,其中a1=b1=1,a4=7,a5=b2,且存在常數(shù)a,β使得對每一個(gè)正數(shù)n都有an=1ogabn+β,則a+β=( 。
A、2B、4C、6D、8

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),則第5個(gè)等式為
 
;推廣到第n個(gè)等式為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

方程x3+2x=21的解的個(gè)數(shù)為
 
,若有解,則將其解按四舍五入精確到個(gè)位,得到的近似解為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積(  )
A、
2
π
B、2
2
π
C、(2
2
+1
)π
D、(2
2
+2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若實(shí)數(shù)x,y滿足
x-y+1≥0
y≥0
x≤2
,則z=2x+y的最大值是
 

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