Question

7．已知$\overrightarrow{a}$=（cos²x-sin²x，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow$=（1，cos（$\frac{π}{2}$+2x）），若f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，則f（x）（　�。�

• A． 圖象關(guān)于$（{-\frac{π}{6}，0}）$中心對(duì)稱
• B． 圖象關(guān)于直線$x=-\frac{π}{6}$對(duì)稱
• C． 在區(qū)間$[{-\frac{π}{6}，0}]$上單調(diào)遞增
• D． 周期為π的奇函數(shù)

Answer 1

分析 利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則計(jì)算$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$后，得到函數(shù)f（x）的解析式，由2x+$\frac{π}{6}$=kπ，解得函數(shù)的中心對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，可判斷A錯(cuò)誤；由2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得函數(shù)的對(duì)稱軸方程，可判斷B錯(cuò)誤；
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，可判斷C正確；由于f（0）=2sin$\frac{π}{6}$=1≠0，即可判斷D錯(cuò)誤．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$=（cos²x-sin²x，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow$=（1，cos（$\frac{π}{2}$+2x）），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$
=cos²x-sin²x-$\sqrt{3}$cos（$\frac{π}{2}$+2x）
=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
由2x+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，解得函數(shù)的中心對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為：（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，0），k∈Z，由于令$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$=-$\frac{π}{6}$，解得：k=-$\frac{1}{6}$∉Z，故A錯(cuò)誤；
由2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得函數(shù)的對(duì)稱軸方程為：x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z，由于令$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$，解得：k=-$\frac{2}{3}$∉Z，故B錯(cuò)誤；
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z，當(dāng)k=0時(shí)，$[{-\frac{π}{6}，0}]$?[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，故C正確；
由于f（0）=2sin$\frac{π}{6}$=1≠0，函數(shù)不是奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．