Question

6．已知直線y=x+m，圓x²+y²=4．
（1）若直線與圓相切，求m的值；
（2）當(dāng)m=2時(shí)，直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，求弦AB的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線與圓相切，圓心到直線的距離d=r，即可求出m的值；
（2）利用圓心到直線的距離d與半徑r和弦AB的一半組成直角三角形，由勾股定理即可求出弦長AB．

解答 解：（1）直線y=x+m，
圓x²+y²=4的圓心為O（0，0），半徑為r=2；
若直線與圓相切，則圓心O到直線x-y+m=0的距離為d=r，
即$\frac{|m|}{\sqrt{2}}$=2，
解得m=±2$\sqrt{2}$；
（2）當(dāng)m=2時(shí)，直線y=x+2，
所以圓x²+y²=4的圓心O到直線x-y+2=0的距離為
d=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，且半徑r=2，
所以弦AB的長2$\sqrt{{r}^{2}{-d}^{2}}$=2×$\sqrt{{2}^{2}{-（\sqrt{2}）}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓相切以及直線與圓相交的應(yīng)用問題，也考查了點(diǎn)到直線的距離與勾股定理的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．