Question

某縣為“中學(xué)生知識(shí)競賽”進(jìn)行選取性測試，規(guī)定：成績大于或等于90分的右參賽資格，90分以下（不包括90分）的則被淘汰，若現(xiàn)有1000人參加測試，學(xué)生成績的頻率分別直方圖如圖：
（1）根據(jù)頻率分別直方圖，求獲得參賽資格的人數(shù)并估算這1000名學(xué)生測試的平均值
（2）若知識(shí)競賽分初賽和復(fù)賽，在初賽中每人最多有5道選題答題的機(jī)會(huì)，累計(jì)大隊(duì)3題或答錯(cuò)3題即終止，答對(duì)3題者方可參加復(fù)賽，已知參賽者甲答對(duì)每一個(gè)問題的概率都相同，并且相互之間沒有影響，已知他連續(xù)兩次答錯(cuò)的概率為

1

9

，求甲在初賽中答題個(gè)數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列,頻率分布直方圖,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）利用頻率分布直方圖中小長方體面積表示對(duì)應(yīng)頻率的含義，求出獲得參賽資格的頻率，再利用頻數(shù)等于總數(shù)乘以頻率，得獲得參賽資格的人數(shù)；利用組中值進(jìn)行估算平均值．
（2）先求出參賽者甲答對(duì)每一個(gè)問題的概率P（A），由（1-P（A）²）=

1

9

，得P（A）=

2

3

．學(xué)生甲答題個(gè)數(shù)ξ的可能值為3，4，5，甲答題數(shù)為3時(shí)，要么全答對(duì)、要么全答錯(cuò)．甲答題數(shù)為5時(shí)，前4題必然是兩對(duì)兩錯(cuò)，最后一題不論對(duì)錯(cuò)都結(jié)束．甲答題數(shù)為4時(shí)，前3題為一對(duì)兩錯(cuò)時(shí)，第4題必答錯(cuò)；前3題為一錯(cuò)兩對(duì)時(shí)，第4題必答對(duì)．最后利用數(shù)學(xué)期望公式求期望值．

解答： 解：（1）由頻率分布直方圖，知：
獲得參賽資格的人數(shù)為1000×（0.0050+0.0043+0.0032）×20=250人．
設(shè)1000名學(xué)生的平均成績?yōu)?span id="a8ihikr" class="MathJye">

.

x

，
則

.

x

=（

30+50

2

×0.0065+

50+70

2

×0.0140+

70+90

2

×0.0170+

110+90

2

×0.0050+

110+130

2

×0.0043+

150+130

2

×0.0032）×20=78.48分．
（2）設(shè)學(xué)生甲答對(duì)每道題的概率為P（A），則（1-P（A）²）=

1

9

，
∴P（A）=

2

3

，
學(xué)生甲答題個(gè)數(shù)ξ的可能值為3，4，5，
則P（ξ=3）=（

2

3

）³+（

1

3

）³=

1

3

，
P（ξ=4）=

C

1 3

(

1

3

)(

2

3

)3+

C

1 3

(

2

3

)(

1

3

)3=

10

27

，
P（ξ=5）=

C

2 4

(

1

3

)2(

2

3

)2=

8

27

，
∴ξ的分布列為

ξ	3	4	5
P	1 3	10 27	8 27

Eξ=

1

3

×3+

10

27

×4+

8

27

×5=

107

27

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和概率的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意頻率分布直方圖的性質(zhì)和排列組合的合理運(yùn)用．