Question

10．如圖1，已知四邊形ABFD為直角梯形，$AB∥DF，∠ADF=\frac{π}{2}，△ADE$為等邊三角形，AD=DF=2AF=2，C為DF的質(zhì)點(diǎn)，如圖2，將平面AED、BCF分別沿AD、BC折起，使得平面AED⊥平面ABCD，平面BCF⊥平面ABCD，連接EF、DF，設(shè)G為AE上任意一點(diǎn)．
（1）證明：DG∥平面BCF；
（2）求平面DEF與平面BCF所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出CD⊥平面AED，CD⊥平面BCF，從而平面AED∥平面BCF，由此能證明DG∥平面BCF．
（Ⅱ）取AD的中點(diǎn)O，連結(jié)OE，則OE⊥AD，以O(shè)D為x軸，以平面AED過O的垂線為y軸，以O(shè)E為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面DEF與平面BCF所成銳二面角的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）由題意知BC⊥DC，
∵平面AED⊥平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，
又CD⊥AD，∴CD⊥平面AED，
同理，CD⊥平面BCF，
∴平面AED∥平面BCF，
又DC?平面AED，∴DG∥平面BCF．
解：（Ⅱ）取AD的中點(diǎn)O，連結(jié)OE，則OE⊥AD，
∵平面AED⊥平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，
∴OE⊥平面ABCD，以O(shè)D為x軸，以平面AED過O的垂線為y軸，以O(shè)E為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵OE=$\sqrt{3}$，CF=1，
則O（0，0，0），$\overrightarrow{DF}$=（0，1，1），$\overrightarrow{CD}$=（0，-1，0），
設(shè)平面DEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=-x+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=y+z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，-1，1），
又$\overrightarrow{CD}$=（0，-1，0）是平面BCF的一個(gè)法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{CD}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{CD}|}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴平面DEF與平面BCF所成銳二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查線面角的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．