Question

17．設(shè)a＞b＞c，方程$\frac{1}{x-a}$+$\frac{1}{x-b}$+$\frac{1}{x-c}$=0的兩根為x₁，x₂（x₁＜x₂），試確定a，b，c，x₁，x₂的大小關(guān)系．

Answer 1

分析 由已知中$\frac{1}{x-a}$+$\frac{1}{x-b}$+$\frac{1}{x-c}$=0的兩根為x₁，x₂，故$\frac{1}{{x}_{1}-a}+\frac{1}{{x}_{1}-b}+\frac{1}{{x}_{1}-c}=0$，且$\frac{1}{{x}_{2}-a}+\frac{1}{{x}_{2}-b}+\frac{1}{{x}_{2}-c}=0$，進(jìn)而得到結(jié)論．

解答 解：∵$\frac{1}{x-a}$+$\frac{1}{x-b}$+$\frac{1}{x-c}$=0的兩根為x₁，x₂（x₁＜x₂），
∴$\frac{1}{{x}_{1}-a}+\frac{1}{{x}_{1}-b}+\frac{1}{{x}_{1}-c}=0$，且$\frac{1}{{x}_{2}-a}+\frac{1}{{x}_{2}-b}+\frac{1}{{x}_{2}-c}=0$，
故$\frac{1}{{x}_{1}-a}，\frac{1}{{x}_{1}-b}，\frac{1}{{x}_{1}-c}$至少有一個(gè)小于0，又至少一個(gè)大于0，
$\frac{1}{{x}_{2}-a}，\frac{1}{{x}_{2}-b}，\frac{1}{{x}_{2}-c}$至少有一個(gè)小于0，又至少一個(gè)大于0，
又由a＞b＞c，x₁＜x₂，得：a＞x₂＞b＞x₁＞c．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)為不等式的性質(zhì)，實(shí)數(shù)的性質(zhì)，難度中檔．