Question

15．若0＜x≤$\frac{π}{3}$，則函數(shù)y=sinx+cosx+sinxcosx的值域是（　�。�

• A． [-1，+∞）
• B． [-1，2]
• C． （0，2]
• D． （1，$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$]

Answer 1

分析 利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，正弦函數(shù)的定義域和值域求得t=sinx+cosx 的范圍，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得y的最值，可得y的值域．

解答 解：∵0＜x≤$\frac{π}{3}$，∴x+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{7π}{12}$]，∴sin（x+$\frac{π}{4}$）∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈（1，$\sqrt{2}$]，
則t²=1+2sinxcosx，∴sinx•cosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，y=t+$\frac{{t}^{2}-1}{2}$=$\frac{1}{2}$•（t+1）²-1，
故當(dāng)t=1時(shí)，函數(shù)y取得最小值為1，當(dāng)t=$\sqrt{2}$時(shí)，函數(shù)y取得最小值為2+2$\sqrt{2}$，
故函數(shù)的值域?yàn)?（1，2+2$\sqrt{2}$]，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，正弦函數(shù)的定義域和值域，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．