Question

20．已知二次函數(shù)f（x）的圖象過點（0，4），且關于x的方程f（x）=2x有兩實數(shù)根1和4，
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)h（x）=f（x）-（2t-3）x（t∈R）在區(qū)間x∈[0，1]上的最小值是$\frac{7}{2}$，求t的值．

Answer 1

分析 （1）二次函數(shù)f（x）的圖象過點（0，4），設二次函數(shù)為f（x）=ax²+bx+4，根據(jù)根與系數(shù)的關系即可求出，
（2）h（x）=f（x）-（2t-3）x=x²-2tx+4，h（x）的對稱軸為x=t，根據(jù)對稱軸，分類討論，根據(jù)函數(shù)的單調性即可求出答案．

解答 解：（1）二次函數(shù)f（x）的圖象過點（0，4），
設二次函數(shù)為f（x）=ax²+bx+4，
∵關于x的方程f（x）=2x有兩實數(shù)根1和4，
∴ax²+（b-2）x+4=0的兩實數(shù)根1和4，
∴1+4=-$\frac{b-2}{a}$，1×4=$\frac{4}{a}$，
解得a=1，b=-3，
∴f（x）=x²-3x+4，
（2）h（x）=f（x）-（2t-3）x=x²-3x+4-（2t-3）x=x²-2tx+4，
∴h（x）的對稱軸為x=t，
當t≤0時，函數(shù)h（x）在[0，1]為增函數(shù)，
∴h（x）_min=h（0）=4≠$\frac{7}{2}$，
當t≥1時，函數(shù)h（x）在[0，1]為減函數(shù)，
∴h（x）_min=h（1）=1-2t+4=$\frac{7}{2}$，
解得t=$\frac{3}{4}$（舍去），
當0＜t＜1時，
h（x）_min=h（t）=t²-2t²+4=$\frac{7}{2}$，
解得t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$

點評 本題考查了二次函數(shù)的解析式的求法和二次函數(shù)的性質，關鍵是分類討論，屬于中檔題．