Question

13．已知圓心為C的圓：（x-a）²+（y-b）²=8（a，b為正整數(shù)）過點(diǎn)A（0，1），且與直線y-3-2$\sqrt{2}$=0相切．
（1）求圓C的方程；
（2）若過點(diǎn)M（4，-1）的直線l與圓C相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且$\overrightarrow{CE}$•$\overrightarrow{CF}$=0．求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線和圓相切的關(guān)系求出圓的半徑，即可求圓C的方程；
（2）將直線和圓聯(lián)立，根據(jù)條件∠ECF=90°，根據(jù)點(diǎn)到直線啥單位距離即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）圓C為（x-a）²+（y-b）²=8（a，b）為正整數(shù)，
∴圓C的半徑為$2\sqrt{2}$，圓心為（a，b）
圓C過點(diǎn)A（0，1）且與直線$y-3-2\sqrt{2}=0$相切，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a^2}+{（1-b）^2}=8\\ \left|{b-3-2\sqrt{2}}\right|=2\sqrt{2}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=3\end{array}\right.$，
∴圓C的方程為（x-2）²+（y-3）²=8，
（2）直線l與圓C相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且$\overrightarrow{CE}$•$\overrightarrow{CF}=0$
∴CE⊥CF，即△CEF為等腰直角三角形
圓C的半徑為$2\sqrt{2}$，
∴圓心C到直線l的距離為2，
∴當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，即直線l為x=4，很顯然滿足題意要求，
∴當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l為：y=k（x-4）-1，
∴$\frac{{\left|{3-2k+4k+1}\right|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=2$，即 $k=-\frac{3}{4}$即直線l為$y=-\frac{3}{4}x+2$由上綜合可知，
直線l為x=4或$y=-\frac{3}{4}x+2$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查圓的方程，利用直線和圓的位置關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．