Question

5．已知復數(shù)z₁=4-m²+（m-2）i，z₂=λ+2sinθ+（cosθ-2）i，（其中i是虛數(shù)單位，m，λ，θ∈R）．
（1）若z₁為純虛數(shù)，求實數(shù)m的值；
（2）若z₁=z₂，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由z₁為純虛數(shù)，列出方程組，求解即可得實數(shù)m的值；
（2）由z₁=z₂，列出方程組，再結合正弦函數(shù)圖象的性質，即可求得實數(shù)λ的取值范圍．

解答 解：（1）∵z₁為純虛數(shù)，則$\left\{\begin{array}{l}{4-{m}^{2}=0}\\{m-2≠0}\end{array}\right.$，
解得：m=-2；
（2）由z₁=z₂，得$\left\{\begin{array}{l}{4-{m}^{2}=λ+2sinθ}\\{m-2=cosθ-2}\end{array}\right.$，
∴λ=4-cos²θ-2sinθ=sin²θ-2sinθ+3=（sinθ-1）²+2．
∵-1≤sinθ≤1，
∴當sinθ=1時，λ_min=2；
當sinθ=-1時，λ_max=6．
∴實數(shù)λ的取值范圍是[2，6]．

點評 本題考查了復數(shù)的基本概念，考查了正弦函數(shù)圖象的性質，是基礎題．