【題目】在如圖所示的多面體中,平面平面,四邊形為邊長(zhǎng)為2的菱形, 為直角梯形,四邊形為平行四邊形,且, , .
(1)若, 分別為, 的中點(diǎn),求證: 平面;
(2)若, 與平面所成角的正弦值為,求二面角的余弦值.
【答案】(1)見(jiàn)解析(2)
【解析】試題分析:(1)第(1)問(wèn),轉(zhuǎn)化成證明平面 ,再轉(zhuǎn)化成證明和.(2)第(2)問(wèn),先利用幾何法找到與平面所成角,再根據(jù)與平面所成角的正弦值為求出再建立空間直角坐標(biāo)系,求出二面角的余弦值.
試題解析:
(1)連接,因?yàn)樗倪呅?/span>為菱形,所以.
因?yàn)槠矫?/span>平面,平面平面, 平面, ,所以平面.
又平面,所以.
因?yàn)?/span>,所以.
因?yàn)?/span>,所以平面.
因?yàn)?/span>分別為, 的中點(diǎn),所以,所以平面
(2)設(shè),由(1)得平面.
由, ,得, .
過(guò)點(diǎn)作,與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn),取的中點(diǎn),連接, ,如圖所示,
又,所以為等邊三角形,所以,又平面平面,平面平面, 平面,故平面.
因?yàn)?/span>為平行四邊形,所以,所以平面.
又因?yàn)?/span>,所以平面.
因?yàn)?/span>,所以平面平面.
由(1),得平面,所以平面,所以.
因?yàn)?/span>,所以平面,所以是與平面所成角.
因?yàn)?/span>, ,所以平面, 平面,因?yàn)?/span>,所以平面平面.
所以, ,解得.
在梯形中,易證,分別以, , 的正方向?yàn)?/span>軸, 軸, 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.
則, , , , , ,
由,及,得,所以, , .
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,由得令,得m=(3,1,2)
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,由得令,得.
所以
又因?yàn)槎娼?/span>是鈍角,所以二面角的余弦值是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】改革開(kāi)放40多年來(lái),城鄉(xiāng)居民生活從解決溫飽的物質(zhì)需求為主逐漸轉(zhuǎn)變到更多元化的精神追求,消費(fèi)結(jié)構(gòu)明顯優(yōu)化.下圖給出了1983~2017年部分年份我國(guó)農(nóng)村居民人均生活消費(fèi)支出與恩格爾系數(shù)(恩格爾系數(shù)是食品支出總額占個(gè)人消費(fèi)支出總額的比重)統(tǒng)計(jì)圖.對(duì)所列年份進(jìn)行分析,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A.農(nóng)村居民人均生活消費(fèi)支出呈增長(zhǎng)趨勢(shì)
B.農(nóng)村居民人均食品支出總額呈增長(zhǎng)趨勢(shì)
C.2011年至2015年農(nóng)村居民人均生活消費(fèi)支出增長(zhǎng)最快
D.2015年到2017年農(nóng)村居民人均生活消費(fèi)支出增長(zhǎng)比率大于人均食品支出總額增長(zhǎng)比率
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為4,過(guò)點(diǎn)作平面與正四棱柱的三條側(cè)棱,,分別交于,,,且,若多面體和多面體的體積比為3∶5,則截面的周長(zhǎng)為_________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=a-.
(1)求f(0);
(2)探究f(x)的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;
(3)若f(x)為奇函數(shù),求滿足f(ax)<f(2)的x的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若曲線在處的切線與直線垂直,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)當(dāng)時(shí),若方程有兩個(gè)相異實(shí)根,,,求證.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某網(wǎng)站舉行“衛(wèi)生防疫”的知識(shí)競(jìng)賽網(wǎng)上答題,共有120000人通過(guò)該網(wǎng)站參加了這次競(jìng)賽,為了解競(jìng)賽成績(jī)情況,從中抽取了100人的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),其中成績(jī)分組區(qū)間為,,,,,其頻率分布直方圖如圖所示,請(qǐng)你解答下列問(wèn)題:
(1)求的值;
(2)成績(jī)不低于90分的人就能獲得積分獎(jiǎng)勵(lì),求所有參賽者中獲得獎(jiǎng)勵(lì)的人數(shù);
(3)根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)這次知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的平均分(用組中值代替各組數(shù)據(jù)的平均值).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱臺(tái)中,底面是菱形,底面,且,,是棱的中點(diǎn).
(1)求證:;
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)為研究學(xué)生的身體素質(zhì)與體育鍛煉時(shí)間的關(guān)系,對(duì)該校200名高三學(xué)生平均每天體育鍛煉時(shí)間進(jìn)行調(diào)查,如表:(平均每天鍛煉的時(shí)間單位:分鐘)
平均每天鍛煉的時(shí)間/分鐘 | ||||||
總?cè)藬?shù) | 20 | 36 | 44 | 50 | 40 | 10 |
將學(xué)生日均體育鍛煉時(shí)間在的學(xué)生評(píng)價(jià)為“鍛煉達(dá)標(biāo)”.
(1)請(qǐng)根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫(xiě)下面列聯(lián)表;
鍛煉不達(dá)標(biāo) | 鍛煉達(dá)標(biāo) | 合計(jì) | |
男 | |||
女 | 20 | 110 | |
合計(jì) |
并通過(guò)計(jì)算判斷,是否能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為“鍛煉達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)?
(2)在“鍛煉達(dá)標(biāo)”的學(xué)生中,按男女用分層抽樣方法抽出5人,進(jìn)行體育鍛煉體會(huì)交流,從參加體會(huì)交流的5人中,隨機(jī)選出2人作重點(diǎn)發(fā)言,求恰好選出一名男生的概率.
參考公式:,其中
臨界值表
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在三棱錐中,,分別是線段,的中點(diǎn),底面是正三角形,延長(zhǎng)到點(diǎn),使得.
(1)為線段上確定一點(diǎn),當(dāng)平面時(shí),求的值;
(2)當(dāng)平面,且時(shí),求二面角的余弦值.
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