Question

9．在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，且滿(mǎn)足2acosC=2b-$\sqrt{3}$c．
（1）求A的大��；
（2）現(xiàn)給出三個(gè)條件：①a=2； ②B=45°；③c=$\sqrt{3}$b．試從中選出兩個(gè)可以確定△ABC的條件，寫(xiě)出你的選擇并以此為依據(jù)求△ABC的面積 （只需寫(xiě)出一個(gè)選定方案即可，選多種方案以第一種方案記分）．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)已知可得2cosAsinC=$\sqrt{3}$sinC，結(jié)合sinC＞0，可得cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，結(jié)合A的范圍即可得解A的值．
（2）方案一：選擇①②，由正弦定理可求b，利用兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinC，利用三角形面積公式即可計(jì)算得解；方案二：選擇①③，由余弦定理則可求b，c的值，利用三角形面積公式即可得解．若選擇②③，可求sinC=$\sqrt{3}$sinB=$\frac{\sqrt{6}}{2}$＞1不成立，這樣的三角形不存．

解答 解：（1）∵2acosC=2b-$\sqrt{3}$c．
∴2sinAcosC=2sinB-$\sqrt{3}$sinC，
∴2sinAcosC=2sinAcosC+2cosAsinC-$\sqrt{3}$sinC，可得：2cosAsinC=$\sqrt{3}$sinC．
∵sinC＞0，
∴可得：cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{6}$．
（2）方案一：選擇①②
由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，得b=$\frac{asinB}{sinA}$=2$\sqrt{2}$，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$．
∴S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}×$$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$=$\sqrt{3}+1$
方案二：選擇①③
由余弦定理b²+c²-2bccosA=a²，有b²+3b²-3b²=4，則b=2，c=2$\sqrt{3}$，
所以S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}×\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$．
說(shuō)明：若選擇②③，由c=$\sqrt{3}b$得，sinC=$\sqrt{3}$sinB=$\frac{\sqrt{6}}{2}$＞1不成立，這樣的三角形不存．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形面積公式，余弦定理，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．