Question

16．拋物線C：x²=2py，直線l：y=2p，l與C交于A、B兩點(diǎn)，則C在A、B處的兩條切線的夾角的正切值為（　�。�

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{8}{3}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 聯(lián)立方程組求出A，B的坐標(biāo)，得出切線方程，解出切線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用二倍角公式得出切線夾角的正切值．

解答 解：聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=2py}\\{y=2p}\end{array}\right.$，得A（-2p，2p），B（2p，2p）．
由x²=2py得y=$\frac{{x}^{2}}{2p}$，∴y′=$\frac{x}{p}$．
∴拋物線在A處的切線為y=-2x-2p，在B處的切線為y=2x-2p．
設(shè)p＞0，直線l與y軸交于F點(diǎn)，切線與y軸交于D點(diǎn)，
∴tan∠ADF=$\frac{|AF|}{|DF|}$=$\frac{2p}{4p}$=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠ADB=tan2∠ADF=$\frac{2•\frac{1}{2}}{1-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{4}{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線的切線方程，二倍角公式，屬于中檔題．