Question

8．如圖，已知矩形ABCD與矩形ABEF全等，二面角DABE為直二面角，M為AB的中點，F(xiàn)M與BD所成的角為θ，且cos θ=$\frac{\sqrt{3}}{9}$，則$\frac{AB}{BC}$=（　�。�

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 以A為原點，AF為x軸，AB為y軸，AD為z軸，建立空間直角坐標系，設AB=2a，BC=2b，利用向量法能求出AB與BC的長度之比．

解答 解：以A為原點，AF為x軸，AB為y軸，AD為z軸，
建立空間直角坐標系，
設AB=2a，BC=2b，
則F（2b，0，0），M（0，a，0），B（0，2a，0），
D（0，0，2b），
$\overrightarrow{FM}$=（-2b，a，0），$\overrightarrow{BD}$=（0，-2a，2b），
∵FM與BD所成角為θ，且cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{9}$，
∴|cos＜$\overrightarrow{FM}$，$\overrightarrow{BD}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{BD}|}{\left|\overrightarrow{FM}\right|•\left|\overrightarrow{BD}\right|}$=$\frac{2{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}+4^{2}}\sqrt{{4a}^{2}+4^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{9}$，
整理，得5a²b²+4b⁴-26a⁴=0，
∴-26×（$\frac{a}$）⁴+5×（$\frac{a}$）²+4=0，
解得（$\frac{a}$）²=$\frac{1}{2}$，或 （$\frac{a}$）²=-$\frac{4}{13}$ （舍），
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
故選：C．

點評 本題考查兩線段長的比值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．