Question

10．已知圓C的圓心為（1，2）且與直線2x+y+1=0相切．
（Ⅰ）求圓C的標準方程；
（Ⅱ）若直線l經(jīng)過點（-1，-1）且被圓C截得的弦長為2，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意以及點到直線的距離公式求得圓的半徑，從而求得圓C的標準方程；
（Ⅱ）由 點（-1，-1）在圓內(nèi)，且弦長為2＜$2\sqrt{5}$，判斷應有兩條直線，然后分類討論當l斜率存在時和當l斜率不存在時，求出直線l的方程即可．

解答 解：（Ⅰ） 圓的半徑為圓心（1，2）到切線2x+y+1=0的距離，
即r=$\frac{|2+2+1|}{\sqrt{{2}^{2}+1}}$=$\sqrt{5}$，
∴圓C的標準方程為（x-1）²+（y-2）²=5；
（Ⅱ） 點（-1，-1）在圓內(nèi)，且弦長為2＜$2\sqrt{5}$，∴應有兩條直線．
①當l斜率存在時，設(shè)l：y+1=k（x+1），即kx-y+k-1=0．
由弦長公式，$2=2\sqrt{{r}^{2}-93zelsx^{2}}=2\sqrt{5-sgj3969^{2}}$，得d=2．
∴圓心到直線l的距離$d=\frac{|2k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=2$，解得$k=\frac{5}{12}$，此時l：5x-12y-7=0．
②當l斜率不存在時，l：x=-1，也符合題意．
∴直線方程為：5x-12y-7=0或x=-1．

點評 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點到直線的距離公式的應用以及弦長公式，屬于中檔題．