Question

10．已知圓C的圓心為（1，2）且與直線(xiàn)2x+y+1=0相切．
（Ⅰ）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，-1）且被圓C截得的弦長(zhǎng)為2，求直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意以及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求得圓的半徑，從而求得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）由 點(diǎn)（-1，-1）在圓內(nèi)，且弦長(zhǎng)為2＜$2\sqrt{5}$，判斷應(yīng)有兩條直線(xiàn)，然后分類(lèi)討論當(dāng)l斜率存在時(shí)和當(dāng)l斜率不存在時(shí)，求出直線(xiàn)l的方程即可．

解答 解：（Ⅰ） 圓的半徑為圓心（1，2）到切線(xiàn)2x+y+1=0的距離，
即r=$\frac{|2+2+1|}{\sqrt{{2}^{2}+1}}$=$\sqrt{5}$，
∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）²+（y-2）²=5；
（Ⅱ） 點(diǎn)（-1，-1）在圓內(nèi)，且弦長(zhǎng)為2＜$2\sqrt{5}$，∴應(yīng)有兩條直線(xiàn)．
①當(dāng)l斜率存在時(shí)，設(shè)l：y+1=k（x+1），即kx-y+k-1=0．
由弦長(zhǎng)公式，$2=2\sqrt{{r}^{2}-cyrk9tm^{2}}=2\sqrt{5-ntsbktc^{2}}$，得d=2．
∴圓心到直線(xiàn)l的距離$d=\frac{|2k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=2$，解得$k=\frac{5}{12}$，此時(shí)l：5x-12y-7=0．
②當(dāng)l斜率不存在時(shí)，l：x=-1，也符合題意．
∴直線(xiàn)方程為：5x-12y-7=0或x=-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的應(yīng)用以及弦長(zhǎng)公式，屬于中檔題．