Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=

an

3-2an

，a₁=

1

4

．
（1）b_n=

1

an

-1（n∈N^*）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求滿足a_n+a_n+1+…+a_2n-1＜

1

150

的最小正整數(shù)m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求出b_n=

1

an

-1（n∈N^*）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）利用放縮法即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）由a_n+1=

an

3-2an

得

1

an+1

=

3

an

-2，
∴

1

an+1

-1=3（

1

an

-1）．
∴數(shù)列{

1

an

-1}是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，
∴b_n=

1

an

-1=3•3^n-1=3ⁿ，…（4分）
∴a_n=

1

3n+1

            …（6分），
（2）由（1）知a_m+a_m+1+…+a_2m-1=

1

3m+1

+

1

3m+1+1

+…+

1

32m-1+1

＜

1

3m

+

1

3m+1

+…+

1

32m-1

=

1

3m

•

1- 1 3m

1- 1 3

=

1

2•3m-1

(1-

1

3m

)＜

1

2•3m-1

，
令

1

2•3m-1

≤

1

150

，解得m≥5，
故所求m的最小值為5．…（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列和不等式的關(guān)系，考查學(xué)生的推理能力．