Question

16．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，橢圓左右兩個焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂在直線x-y+2=0上的同側(cè)，且直線上的動點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)的距離之和的最小值為$\sqrt{10}$，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 由題意作圖，設(shè)點(diǎn)F₁（-c，0）關(guān)于直線y=x+2的對稱點(diǎn)為A（m，n），從而求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，從而結(jié)合題意得方程組，解之即可．

解答 解：由題意作圖象如下，
，
設(shè)點(diǎn)F₁（-c，0）關(guān)于直線y=x+2的對稱點(diǎn)為A（m，n），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n-0}{m+c}=-1}\\{\frac{m-c}{2}-\frac{n}{2}+2=0}\end{array}\right.$，
解得，m=-2，n=2-c；
結(jié)合題意知，|AF₂|=$\sqrt{10}$，
故可得方程組，
$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{\sqrt{（c+2）^{2}+（2-c）^{2}}=\sqrt{10}}\end{array}\right.$，
解得，c=1，a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$；
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．

點(diǎn)評 本題考查了圓錐曲線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用，同時考查了轉(zhuǎn)化思想與方程思想．