Question

13．在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）間的“L-距離”定義為|P₁P₂|=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．現(xiàn)將邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC按如圖所示的方式放置，其中頂點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)重合．記邊AB所在直線的斜率為k，0≤k≤$\sqrt{3}$．求：當(dāng)|BC|取最大值時(shí)，邊AB所在直線的斜率的值．

Answer 1

分析 設(shè)邊AB所在直線的傾斜角為θ，則$θ∈[{0，\frac{π}{3}}]$，利用L-距離的定義，表示|BC|，結(jié)合輔助角公式，求出取最大值時(shí)，邊AB所在直線的斜率的值．

解答 解：設(shè)邊AB所在直線的傾斜角為θ，則$θ∈[{0，\frac{π}{3}}]$
∴$B（cosθ，sinθ），C（cos（θ+\frac{π}{3}），sin（θ+\frac{π}{3}））$…（2分）
∴|BC|=|cosθ-cos（θ+$\frac{π}{3}$）|+|sinθ-sin（θ+$\frac{π}{3}$）|
=$|{\frac{1}{2}cosθ+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ}|+|{\frac{1}{2}sinθ-\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosθ}|$
=$|{sin（θ+\frac{π}{6}）}|+|{cos（θ+\frac{π}{6}）}|$…（6分）
∵$θ∈[{0，\frac{π}{3}}]∴θ+\frac{π}{6}∈[{\frac{π}{6}，\frac{π}{2}}]$，
∴|BC|=$|{sin（θ+\frac{π}{6}）}|+|{cos（θ+\frac{π}{6}）}|$=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{5π}{12}$）…（8分）
∵$θ∈[{0，\frac{π}{3}}]∴θ+\frac{5π}{12}∈[{\frac{5π}{12}，\frac{3π}{4}}]$，
∴當(dāng)θ+$\frac{5π}{12}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，即θ=$\frac{π}{12}$時(shí)，|BC|取得最大值$\sqrt{2}$，…（10分）
此時(shí)$k=tanθ=tan\frac{π}{12}$，∵$tan\frac{π}{6}=\frac{{2tan\frac{π}{12}}}{{1-{{tan}^2}\frac{π}{12}}}$（或由$tan\frac{π}{12}=tan（\frac{π}{4}-\frac{π}{6}）$求k）∴$\frac{{\sqrt{3}}}{3}=\frac{2k}{{1-{k^2}}}，解得k=2-\sqrt{3}或k=-2-\sqrt{3}（舍去）$，
∴$k=2-\sqrt{3}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義，考查直線斜率的計(jì)算，考查三角函數(shù)知識(shí)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．