Question

18．已知定義域為R的奇函數(shù)f（x）的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，當(dāng)x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（0，1）時f′（x）＞0，且f（2）=0，則關(guān)于x的不等式（x+1）f（x）＞0的解集為（-2，-1）∪（0，2）．

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得極值與最值，又函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，且f（2）=0，可得圖象：對x與-1的大小關(guān)系分類討論即可得出．

解答 解：當(dāng)x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（0，1）時，f′（x）＞0，可知：當(dāng)x=1時，函數(shù)f（x）取得極大值即為最大值，又函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，且f（2）=0，可得圖象：
關(guān)于x的不等式（x+1）f（x）＞0（x≠-1）等價于：
$\left\{\begin{array}{l}{x＞-1}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$，
解得：0＜x＜2，或-2＜x＜-1．
∴不等式（x+1）f（x）＞0的解集為（-2，-1）∪（0，2）．
故答案為：（-2，-1）∪（0，2）．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值最值與圖象、函數(shù)的奇偶性、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．