Question

9．已知函數(shù)$f（x）=（{\sqrt{3}sinωx-cosωx}）•cosωx+\frac{1}{2}$（其中ω＞0）的最小正周期為π．
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，滿足（2b-a）cosC=c•cosA，且f（B）恰是f（x）的最大值，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析 （1）化簡函數(shù)，根據(jù)三角形函數(shù)的性質(zhì)，已知最小正周期為π．求解ω，解得函數(shù)y=f（x）的解析式，再求單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和正弦定理化簡（2b-a）cosC=c•cosA，f（B）恰是f（x）的最大值，求解最大值可得B的大�。�即可判斷△ABC的形狀．

解答 解：函數(shù)$f（x）=（{\sqrt{3}sinωx-cosωx}）•cosωx+\frac{1}{2}$
化簡：f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx-co{s}^{2}ωx+\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx-\frac{1}{2}cos2ωx$
=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）
∵最小正周期為π，即$T=π=\frac{2π}{2ω}$
解得：ω=1
∴函數(shù)的解析式為 f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）
∴2x-$\frac{π}{6}$∈[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，（k∈Z）單調(diào)遞增區(qū)間；即2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
解得：kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，
故函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，（k∈Z）
（2）由（1）可知f（x）取得最大值時，即2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，
解得：x=$\frac{π}{3}$
∵f（B）恰是f（x）的最大值．
故B=$\frac{π}{3}$，
∴A+B=120°
由正弦定理：（2b-a）cosC=c•cosA，
化簡：（2sinB-sinA）cosC=cosC•cosA
?2sinB-sinA=cosA
?2sin（120°-A）-sinA=cosA
解得：A=90°
所以：△ABC的形狀是直角三角形．

點評 本題考查了三角函數(shù)的化簡能力和函數(shù)性質(zhì)的運用能力以及對正弦定理的靈活運用．屬于中檔題．