Question

8．在某項娛樂活動的海選過程中，評分人員需對同批次的選手進行考核并評分，并將其得分作為該選手的成績，成績大于等于60分的選手定為合格選手，直接參加第二輪比賽，不超過40分的選手將直接被淘汰，成績在（40，60）內的選手可以參加復活賽，如果通過，也可以參加第二輪比賽．
（1）已知成績合格的200名參賽選手成績的頻率分布直方圖如圖，估計這200名參賽選手的成績平均數和中位數；
（2）根據已有的經驗，參加復活賽的選手能夠進入第二輪比賽的概率如表：

參賽選手成績所在區(qū)間	�。�40，50]	（50，60）
每名選手能夠進入第二輪的概率	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{3}$

假設每名選手能否通過復活賽相互獨立，現(xiàn)有3名選手的成績分別為（單位：分）45，52，58，記這3名選手在復活賽中通過的人數為隨機變量X，求X的分布列和數學期望．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖的性質先求出a，由此能估計這200名參賽選手的成績平均數和中位數．
（2）根據題意知，成績在（40，50]，（50，60）內選手分別有1名和2名，隨機變量X的取值為0，1，2，3．分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和數學期望．

解答 解：（1）因為10×（0.01+0.02+0.05+a）=1，
所以a=0.04．
平均數$\overline x=10×（65×0.01+75×0.04+85×0.02+95×0.03）=82$．
由圖可知可視為兩個矩形面積之和為0.5k，
則中位數為80．
（2）根據題意知，成績在（40，50]，（50，60）內選手分別有1名和2名，
隨機變量X的取值為0，1，2，3．
$P（x=0）=\frac{1}{2}×{（\frac{1}{3}）^2}=\frac{1}{18}$，
$P（x=1）=\frac{1}{2}×{（\frac{1}{3}）^2}+\frac{1}{2}×C_2^1\frac{1}{3}×\frac{2}{3}=\frac{5}{18}$，
$P（x=2）=\frac{1}{2}×C_2^1\frac{1}{3}×\frac{2}{3}+\frac{1}{2}×{（\frac{2}{3}）^2}=\frac{4}{9}$，
$P（x=3）=\frac{1}{2}×{（\frac{2}{3}）^2}=\frac{2}{9}$．
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{18}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{2}{9}$

$EX=\frac{5}{18}+2×\frac{4}{9}+3×\frac{2}{9}=\frac{11}{6}$．

點評 本題考查頻率分布直方圖的性質及應用，考查離散型隨機變量的分布列及數學期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．