Question

5．三棱錐S-ABC的棱長(zhǎng)都相等，E，F(xiàn)是棱SC上的點(diǎn)，若SE=$\frac{1}{3}$SC，SF=$\frac{2}{3}$SC，則AE與BF所成角的余弦值為$\frac{17}{52}$．

Answer 1

分析 取AC中點(diǎn)G、SC中點(diǎn)H，連結(jié)AH、FG、BG，則∠BEG是AE與BF所成角（或所成角的補(bǔ)角），由此利用余弦定理能求出AE與BF所成角的余弦值．

解答 解：設(shè)三棱錐S-ABC的棱長(zhǎng)都為2，
取AC中點(diǎn)G、SC中點(diǎn)H，連結(jié)AH、FG、BG，
∵E，F(xiàn)是棱SC上的點(diǎn)，若SE=$\frac{1}{3}$SC，SF=$\frac{2}{3}$SC，
∴FG∥AE，∴∠BEG是AE與BF所成角（或所成角的補(bǔ)角），
BG=AH=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴BF=AE=$\sqrt{A{H}^{2}+E{H}^{2}}$=$\sqrt{3+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
∴GF=$\frac{AE}{2}$=$\frac{\sqrt{13}}{4}$，
∴cos∠BEG=$\frac{B{F}^{2}+G{F}^{2}-B{G}^{2}}{2×BF×GF}$=$\frac{\frac{13}{4}+\frac{13}{16}-3}{2×\frac{\sqrt{13}}{2}×\frac{\sqrt{13}}{4}}$=$\frac{17}{52}$．
∴AE與BF所成角的余弦值為$\frac{17}{52}$．
故答案為：$\frac{17}{52}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意余弦定理的合理運(yùn)用．