Question

9．已知直線l：3x-4y+m=0過點（-1，2），在以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線G的方程為ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），正方形OABC內(nèi)接于曲線G，且O，A，B，C依逆時針方向排列，A在極軸上．
（Ⅰ）寫出直線l的參數(shù)方程和曲線G的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若點P為直線l上任意一點，求PO²+PA²+PB²+PC²的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由直線l：3x-4y+m=0過點（-1，2），代入解得m=11．可得直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{4}{5}t}\\{y=2+\frac{3}{5}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
曲線G的方程為ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），展開化為：ρ²=$2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}（ρsinθ+ρcosθ）$，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$及其ρ²=x²+y²即可得出直角標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）可知O，A，B，C依逆時針方向的直角坐標(biāo)分別為O（0，0），A（2，0），B（2，2），C（0，2），設(shè)P（x，y），則PO²+PA²+PB²+PC²=4[（x-1）²+（y-1）²]+8，而（x-1）²+（y-1）²表示圓G的圓心G（1，1）與點P距離的平方，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵直線l：3x-4y+m=0過點（-1，2），∴-3-8+m=0，解得m=11．
可得直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{4}{5}t}\\{y=2+\frac{3}{5}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
曲線G的方程為ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），展開化為：ρ²=$2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}（ρsinθ+ρcosθ）$，
可得：曲線G的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=2x+2y，配方為：（x-1）²+（y-1）²=2．
（Ⅱ）可知O，A，B，C依逆時針方向的直角坐標(biāo)分別為O（0，0），A（2，0），B（2，2），C（0，2），設(shè)P（x，y），
則PO²+PA²+PB²+PC²=x²+y²+（x-2）²+y²+（x-2）²+（y-2）²+x²+（y-2）²=4x²+4y²-8x-8y+16=4[（x-1）²+（y-1）²]+8，
而（x-1）²+（y-1）²表示圓G的圓心G（1，1）與點P距離的平方，
其最小值為G（1，1）到直線l距離的平方，即（x-1）²+（y-1）²≥$（\frac{|3-4+11|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}）^{2}$=4，
∴PO²+PA²+PB²+PC²的最小值為4×4+8=24．

點評 本題考查圓的極坐標(biāo)方程、直線的參數(shù)方程及參數(shù)幾何意義的應(yīng)用、點到直線的距離公式、正方形的性質(zhì)，以及考查邏輯思維能力、等價轉(zhuǎn)化的能力、運算求解能力，屬于中檔題．