Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{e^x}$-ax（x∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=-2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若a＞0且x＞0時(shí)，f（x）≤|lnx|，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）法一：問題轉(zhuǎn)化為lnx-$\frac{1}{e^x}+ax≥0$．（*）令g（x）=lnx-$\frac{1}{e^x}+ax$（a＞0），通過討論函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；
法二：f（x）≤|lnx|等價(jià)于$\frac{1}{e^x}-ax≤|{lnx}|$，令g（x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$-|lnx|=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{e}^{x}}-lnx，x≥1}\\{\frac{1}{{e}^{x}}+lnx，0＜x＜1}\end{array}\right.$，通過討論函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）∵當(dāng)a=-2時(shí)，f（x）=$\frac{1}{e^x}+2x$，
∴$f'（x）=-\frac{1}{e^x}+2$．…（1分）
令$f'（x）=-\frac{1}{e^x}+2$=0，得$x=ln\frac{1}{2}=-ln2$．…（2分）
當(dāng)x＜-ln2時(shí)，f'（x）＜0； 當(dāng)x＞-ln2時(shí)，f'（x）＞0．…（3分）
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-ln2），遞增區(qū)間為（-ln2，+∞）．…（4分）
（Ⅱ）解法1：當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≤|lnx|等價(jià)于$\frac{1}{e^x}-ax≤lnx$，即lnx-$\frac{1}{e^x}+ax≥0$．（*）
令g（x）=lnx-$\frac{1}{e^x}+ax$（a＞0），則$g'（x）=\frac{1}{x}+\frac{1}{e^x}+a$＞0，…（5分）
∴函數(shù)g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增．
∴$g（x）≥g（1）=-\frac{1}{e}+a$．…（6分）
要使（*）成立，則$-\frac{1}{e}+a≥0$，得$a≥\frac{1}{e}$．…（7分）
下面證明若$a≥\frac{1}{e}$時(shí)，對(duì)x∈（0，1），f（x）≤|lnx|也成立．
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）≤|lnx|等價(jià)于$\frac{1}{e^x}-ax≤-lnx$，即lnx+$\frac{1}{e^x}-ax≤0$．
而lnx+$\frac{1}{e^x}-ax≤$lnx+$\frac{1}{e^x}-\frac{1}{e}x$．（**）  …（8分）
令h（x）=lnx+$\frac{1}{e^x}-\frac{1}{e}x$，則$h'（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x}-\frac{1}{e}$，
再令$φ（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x}-\frac{1}{e}$，則$φ'（x）=-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{e^x}=\frac{{{x^2}-{e^x}}}{{{x^2}{e^x}}}$．
由于x∈（0，1），則x²＜1，e^x＞1，故$φ'（x）=\frac{{{x^2}-{e^x}}}{{{x^2}{e^x}}}$＜0．…（9分）
∴函數(shù)φ（x）在（0，1）上單調(diào)遞減．
∴$φ（x）＞φ（1）=1-\frac{1}{e}-\frac{1}{e}=1-\frac{2}{e}＞0$，即h'（x）＞0．…（10分）
∴函數(shù)h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增．
∴$h（x）＜h（1）=\frac{1}{e}-\frac{1}{e}=0$．…（11分）
由（**）式lnx+$\frac{1}{e^x}-ax≤$lnx+$\frac{1}{e^x}-\frac{1}{e}x$＜0．
綜上所述，所求a的取值范圍為$[{\frac{1}{e}，+∞}）$．…（12分）

解法2：f（x）≤|lnx|等價(jià)于$\frac{1}{e^x}-ax≤|{lnx}|$，即$ax≥\frac{1}{e^x}-|{lnx}|$．（*）    
令g（x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$-|lnx|=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{e}^{x}}-lnx，x≥1}\\{\frac{1}{{e}^{x}}+lnx，0＜x＜1}\end{array}\right.$
當(dāng)x≥1時(shí)，$g（x）=\frac{1}{e^x}-lnx$，則$g'（x）=-\frac{1}{e^x}-\frac{1}{x}＜0$．
∴函數(shù)g（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞減．
∴$g（x）≤g（1）=\frac{1}{e}$．…（6分）
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，$g（x）=\frac{1}{e^x}+lnx$，則$g'（x）=-\frac{1}{e^x}+\frac{1}{x}=\frac{{{e^x}-x}}{{x{e^x}}}＞0$．
∴函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增．
∴$g（x）＜g（1）=\frac{1}{e}$．…（7分）
下面證明，當(dāng)$a≥\frac{1}{e}$時(shí)，（*）式成立：
①當(dāng)x≥1時(shí)，$ax≥\frac{1}{e}≥g（x）$，（*）式成立．…（8分）
②當(dāng)0＜x＜1時(shí)，由于$ax≥\frac{1}{e}x$，令h（x）=lnx+$\frac{1}{e^x}-\frac{1}{e}x$，
則$h'（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x}-\frac{1}{e}$，
再令$φ（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x}-\frac{1}{e}$，則$φ'（x）=-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{e^x}=\frac{{{x^2}-{e^x}}}{{{x^2}{e^x}}}$．
由于x∈（0，1），則x²＜1，e^x＞1，故$φ'（x）=\frac{{{x^2}-{e^x}}}{{{x^2}{e^x}}}$＜0．…（9分）
∴函數(shù)φ（x）在（0，1）上單調(diào)遞減．
∴$φ（x）＞φ（1）=1-\frac{1}{e}-\frac{1}{e}=1-\frac{2}{e}＞0$，即h'（x）＞0．
∴函數(shù)h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增．
∴$h（x）＜h（1）=\frac{1}{e}-\frac{1}{e}=0$．…（10分）
∴l(xiāng)nx+$\frac{1}{e^x}-\frac{1}{e}x＜0$．…（11分）
∴l(xiāng)nx+$\frac{1}{e^x}＜\frac{1}{e}x≤ax$，即（*）式成立．
綜上所述，所求a的取值范圍為$[{\frac{1}{e}，+∞}）$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，考查分類討論思想，是一道綜合題．