Question

17．已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足（a-lnb）²+（c-d）²=0，則（a-c）²+（b-d）²的最小值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足（a-lnb）²+（c-d）²=0，可得a=lnb，c=d．令y=f（x）=lnx，y=g（x）=x，轉(zhuǎn)化為求上述兩曲線之間的最小距離，設(shè)直線y=x+m與曲線f（x）=lnx相切于點(diǎn)P（x₀，y₀）．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切點(diǎn)，進(jìn)而得出．

解答 解：實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足（a-lnb）²+（c-d）²=0，∴a=lnb，c=d．
令y=f（x）=lnx，y=g（x）=x，
設(shè)直線y=x+m與曲線f（x）=lnx相切于點(diǎn)P（x₀，y₀）．
f′（x）=$\frac{1}{x}$，∴$\frac{1}{{x}_{0}}$=1，解得x₀=1，可得P（1，0），
代入切線方程可得：0=1+m，解得m=-1．
則兩條平行線y=x，y=x-1的距離d=$\frac{1}{\sqrt{2}}$．
∴（a-c）²+（b-d）²的最小值為d²=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、兩點(diǎn)之間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式、平行線之間的距離公式、等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．