Question

給出下列四個命題：其中所有正確命題的序號為（　�。�
①△ABC中，A＞B是sinA＞sinB成立的充要條件；
②已知銳角A，B滿足tan（A+B）=2tanA，則tanB的最大值是

2

4

；
③將y=lnx的圖象繞坐標(biāo)原點O逆時針旋轉(zhuǎn)角θ后第一次與y軸相切，則esinθ=cosθ；
④若函數(shù)y=f(x-

3

2

)為R上的奇函數(shù)，則函數(shù)y=f（x）的圖象一定關(guān)于點F(

3

2

，0)成中心對稱．

• A、①②③
• B、②④
• C、①③④
• D、①②④

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),簡易邏輯

分析：①△ABC中，由正弦定理可得：sinA＞sinB?a＞b?A＞B，即可判斷出；
②已知銳角A，B滿足tan（A+B）=2tanA，利用兩角和的正切公式展開可得tanB=

tanA

1+2tan2A

，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出；
③設(shè)直線y=kx與曲線y=lnx相切于點P（x₀，lnx₀），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得x₀=e，可得切線方程為y=

1

e

x．此切線繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)θ后變?yōu)閥軸，
于是tan(

π

2

-θ)=

1

e

=

cosθ

sinθ

，即可判斷出；
④若函數(shù)y=f(x-

3

2

)為R上的奇函數(shù)，則f(-x-

3

2

)=-f(x-

3

2

)，即可判斷出．

解答： 解：①△ABC中，由正弦定理可得：

a

sinA

=

b

sinB

，sinA＞sinB?a＞b?A＞B，因此正確；
②已知銳角A，B滿足tan（A+B）=2tanA，∴

tanA+tanB

1-tanAtanB

=2tanA，化為tanB=

tanA

1+2tan2A

≤

tanA

2 2 tanA

=

2

4

，當(dāng)且僅當(dāng)tanA=

2

2

時取等號，∴tanB的最大值是

2

4

，正確；
③設(shè)直線y=kx與曲線y=lnx相切于點P（x₀，lnx₀），∵y′=

1

x

，∴k=

1

x0

=

lnx0

x0

，解得x₀=e，可得切線方程為y=

1

e

x．此切線繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)θ后變?yōu)閥軸，
∴tan(

π

2

-θ)=

1

e

=

cosθ

sinθ

，化為ecosθ=sinθ，因此esinθ=cosθ不正確；
④若函數(shù)y=f(x-

3

2

)為R上的奇函數(shù)，則f(-x-

3

2

)=-f(x-

3

2

)，因此函數(shù)y=f（x）的圖象一定關(guān)于點F(

3

2

，0)成中心對稱，正確．
綜上可得：只有①②④正確．
故選：D．

點評：本題考查了正弦定理的應(yīng)用、兩角和差的正切公式、基本不等式的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究切線方程、奇函數(shù)的中心對稱性，考查了簡易邏輯的有關(guān)判定，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．