Question

20．已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}x≤4-2y\\ x≥0\\ y≥0\end{array}\right.$，那么x²+y²-10x-6y的最小值為$-\frac{121}{5}$ ．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，再由x²+y²-10x-6y的幾何意義，可得定點(diǎn)M（5，3）到直線x+2y-4=0的距離的平方減34，即為最小值．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}x≤4-2y\\ x≥0\\ y≥0\end{array}\right.$作出可行域如圖，

x²+y²-10x-6y=（x-5）²+（y-3）²-34．
其幾何意義為定點(diǎn)M（5，3）到直線x+2y-4=0的距離的平方減34．
又M（5，3）到直線x+2y-4=0的距離d=$\frac{|1×5+2×3-4|}{\sqrt{5}}=\frac{7}{\sqrt{5}}$．
∴x²+y²-10x-6y的最小值為$（\frac{7}{\sqrt{5}}）^{2}-34=-\frac{121}{5}$．
故答案為：$-\frac{121}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．