Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（

1

2

）^|x|，x∈R
（1）請(qǐng)畫(huà)出函數(shù)f（x）的大致圖象；
（2）若不等式f（x）+f（2x）≤k對(duì)于任意的x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象,函數(shù)恒成立問(wèn)題

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）化為分段函數(shù)，可作出圖象；或者先做出x≥0時(shí)的函數(shù)圖象，再根據(jù)f（x）是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，作出x＜0的圖象．
（2）若不等式f（x）+f（2x）≤k對(duì)于任意的x∈R恒成立，只要（f（x）+f（2x））_min≤k對(duì)于任意的x∈R恒成立即可，將f（x）的解析式代入，利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值即可．

解答： 解（1）∵f（x）=（

1

2

）^|x|

( 1 2 )x，x≥0 ( 1 2 )-x=2x，x＜0

則函數(shù)的圖象如圖所示；

（2）∵f（x）=（

1

2

）^|x|，
∴f（2x）=（

1

2

）^|2x|，
∵不等式f（x）+f（2x）≤k對(duì)于任意的x∈R恒成立
令t=（

1

2

）^|x|=t∈（0，1]，則y=t²+t（0＜t≤1）
∵對(duì)稱(chēng)軸t=-

1

2

，則當(dāng)t=1時(shí)，y_max=2，
∴k≥2

點(diǎn)評(píng)：本題考查含有絕對(duì)值的函數(shù)的圖象的做法和不等式恒成立為題，題目難度不大，屬基本題型，基本方法的考查．