Question

某施工地位于A、B兩條河的交匯處，根據(jù)歷史統(tǒng)計(jì)資料預(yù)測(cè)．今年汛期A河流發(fā)生洪水的概率為0.25，B河流發(fā)生洪水的概率為0.18，（假設(shè)兩河流發(fā)生洪水與否互不影響）．現(xiàn)有一臺(tái)大型設(shè)備正在該地工作，為了保護(hù)設(shè)備，施工單位提出以下三種方案：
方案1：不采取措施，此時(shí)只有一條河流發(fā)生洪水時(shí)，損失為10000元，當(dāng)兩條河流都發(fā)生洪水時(shí)損失為60000元．
方案2：建一保護(hù)圍墻，需花費(fèi)1000元，但圍墻只能抵御一個(gè)河流發(fā)生的洪水，當(dāng)兩河流同時(shí)發(fā)生洪水時(shí)，設(shè)備仍將受損，損失約56000元；
方案3：運(yùn)走設(shè)備，此時(shí)需花費(fèi)4000元；
（1）試求方案1中損失費(fèi)X（隨機(jī)變量）的分布列及期望；
（2）試比較哪一種方案好．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）記A={A河流發(fā)生洪水}，B={B河流發(fā)生洪水}，則p（A）=0.25，p（B）=0.18，由此能求出方案1中損失費(fèi)X（隨機(jī)變量）的分布列及期望．
（Ⅱ）方案2的可能花費(fèi)為：1000+5600×0.45=3520，方案3的花費(fèi)為4000．從而得到方案2最優(yōu)．

解答： 解：（Ⅰ）記A={A河流發(fā)生洪水}，B={B河流發(fā)生洪水}
則p（A）=0.25，p（B）=0.18，
∴兩條河流都發(fā)生洪水的概率為：
p（A•B）=p（A）•P（B）=0.25×0.18=0.045，
只有一條河流發(fā)生洪水的概率為p(A

.

B

+

.

A

B)=p(A)•p(

.

B

)+p(

.

A

)•p(B)=0.25×0.82+0.75×0.18=0.34
兩條河流都不發(fā)生洪水的概率為：
P（

.

A

•

.

B

）=P（

.

A

）•P（

.

B

）=0.75×0.82=0.615．
∴方案1中，則損失費(fèi)X（隨機(jī)變量）的分布列為

X	10000	60000	0
p	0.34	0.045	0.615

∴損失費(fèi)X（隨機(jī)變量）的期望為：
EX=10000×0.34+60000×0.045+0×0.615=6100．
（Ⅱ）方案2的可能花費(fèi)為：1000+5600×0.45=3520；
方案3的花費(fèi)為4000．
綜上，方案2最優(yōu)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．