6.如圖,將菱形ABCD沿對角線BD折起,使得C點至C′,E點在線段AC′上,若二面角A-BD-E與二面角E-BD-C′的大小分別為30°和45°,則$\frac{AE}{EC′}$=(  )
A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{\sqrt{6}}{6}$C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$D.$\frac{\sqrt{6}}{3}$

分析 取BD的中點O,連接AO,EO,C′O,推導(dǎo)出∠AOE=30°,∠EOC′=45°,∠OC′E=∠OAE,由正弦定理能求出$\frac{AE}{E{C}^{'}}$的值.

解答 解:取BD的中點O,連接AO,EO,C′O,
∵菱形ABCD沿對角線BD折起,使得C點至C′,E點在線段AC′上,
∴C′O⊥BD,AO⊥BD,OC′=OA,
∴BD⊥平面AOC′,
∴EO⊥BD,
∵二面角A-BD-E與二面角E-BD-C′的大小分別為30°和45°,
∴∠AOE=30°,∠EOC′=45°,
∵OC′=OA,∴∠OC′E=∠OAE,
由正弦定理得$\frac{OE}{sin∠O{C}^{'}E}$=$\frac{E{C}^{'}}{sin∠EO{C}^{'}}$,
$\frac{OE}{sin∠OAE}=\frac{AE}{sin∠AOE}$,
∴$\frac{E{C}^{'}}{sin∠EO{C}^{'}}=\frac{AE}{sin∠AO{E}^{'}}$,
∴$\frac{AE}{E{C}^{'}}$=$\frac{sin30°}{sin45°}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
故選:C.

點評 本題考查線段比值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).

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