Question

12．已知在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=1．
（Ⅰ）設(shè)l與C₁相交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|；
（Ⅱ）若把曲線C₁上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的$\frac{1}{2}$倍，縱坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$倍，得到曲線C₂，設(shè)點(diǎn)P是曲線C₂上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l的距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）將直線l中的x與y代入到直線C₁中，即可得到交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求出|AB|．
（2）將直線的參數(shù)方程化為普通方程，曲線C₂任意點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式P到直線的距離d，分子合并后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，與分母約分化簡(jiǎn)后，根據(jù)正弦函數(shù)的值域可得正弦函數(shù)的最小值，進(jìn)而得到距離d的最小值即可．

解答 解：（1）直線l的普通方程為$y=\sqrt{3}x-\sqrt{3}$，曲線C₁的普通方程為x²+y²=1
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}y=\sqrt{3}x-\sqrt{3}\\{x^2}+{y^2}=1\end{array}\right.$解得交點(diǎn)坐標(biāo)$A（{1，0}），B（{\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$，
∴|AB|=1
（2）曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}cosθ\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
設(shè)所求的點(diǎn)為$P（{\frac{1}{2}cosθ，\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ}）$
則點(diǎn)P到直線l的距離$d=\frac{{|{\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosθ-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ-\sqrt{3}}|}}{2}=\frac{{\sqrt{6}}}{4}sin（{θ-\frac{π}{4}}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴${d_{min}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}-\frac{{\sqrt{6}}}{4}=\frac{{\sqrt{6}}}{4}（{\sqrt{2}-1}）$

點(diǎn)評(píng) 此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有直線與圓的參數(shù)方程與普通方程的互化，點(diǎn)到直線的距離公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)曲線C₂的參數(shù)方程設(shè)出所求P的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式表示出d，進(jìn)而利用三角函數(shù)來(lái)解決問(wèn)題是解本題的思路．