7.過曲線C1:$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1(a>0,b>0)的左焦點F1作曲線C2:x2+y2=a2的切線,設(shè)切點為M,延長F1M交曲線C3:y2=2px(p>0)于點N,其中C1,C3有一個共同的焦點,若$\overrightarrow{M{F_1}}+\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow 0$,則曲線C1的離心率為( 。
A.$\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$B.$\sqrt{5}$C.$\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}$D.$\sqrt{2}$

分析 雙曲線的右焦點的坐標為(c,0),利用O為F1F'的中點,M為F1N的中點,可得OM為△NF1F'的中位線,從而可求|NF1|,再設(shè)N(x,y) 過點F1作x軸的垂線,由勾股定理得出關(guān)于a,c的關(guān)系式,最后即可求得離心率.

解答 解:設(shè)雙曲線的右焦點為F',則F'的坐標為(c,0)
因為曲線C1與C3有一個共同的焦點,所以y2=4cx,
因為$\overrightarrow{M{F_1}}+\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow 0$,
所以$\overrightarrow{M{F}_{1}}$=-$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{NM}$,
則M為F1N的中點,
因為O為F1F'的中點,M為F1N的中點,所以O(shè)M為△NF1F'的中位線,
所以O(shè)M∥PF'
因為|OM|=a,所以|NF'|=2a
又NF'⊥NF1,|F1F'|=2c 所以|NF1|=2b
設(shè)N(x,y),則由拋物線的定義可得x+c=2a,
∴x=2a-c
過點F1作x軸的垂線,點N到該垂線的距離為2a
由勾股定理 y2+4a2=4b2,即4c(2a-c)+4a2=4(c2-a2
得e2-e-1=0,
∴e=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$.
故選:A.

點評 本題主要考查雙曲線的標準方程,以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,考查拋物線的定義,考查運算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想,綜合性較強,運算量較大,有一定的難度.

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