Question

18．設(shè){a_n}是遞增等比數(shù)列，已知a₁+a₃=5，且a₁+3，3a₂，a₃+4構(gòu)成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；
（2）令b_n=lna_3n+1，n=1，2，…，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由等差數(shù)列等差中項(xiàng)可知：a₁+3+a₃+4=6a₂，即6a₂=12，求得a₂=2，由a₁+a₃=5，$\frac{{a}_{2}}{q}$+2q=5，即可求得q的值，根據(jù)等數(shù)列通項(xiàng)公式即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；
（2）由（1）可知：a_3n+1=2³ⁿ，則b_n=3nln2，由b_n-b_n-1=3ln2，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，即可求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：由已知可知：a₁+a₃=5，①
a₁+3，3a₂，a₃+4構(gòu)成等差數(shù)列，
∴a₁+3+a₃+4=6a₂，即6a₂=12，
∴a₂=2，
{a_n}是等比數(shù)列，公比q，
∴$\frac{{a}_{2}}{q}$+2q=5，整理得：2q²-5q+2=0，
解得：q=2，q=$\frac{1}{2}$，
{a_n}是遞增等比數(shù)列，
∴q=2，a₁=1，
∴{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2^n-1；
∴b_n=lna_3n+1，n=1，2，…，
由（1）可知：a_3n+1=2³ⁿ，
b_n=3nln2，
b_n-b_n-1=3ln2，
∴數(shù)列{b_n}是以3ln2為首項(xiàng)，以3ln2為公差的等差數(shù)列，
∴T_n=$\frac{n（_{1}+_{n}）}{2}$=$\frac{n（3ln2+3nln2）}{2}$=$\frac{3n（n+1）}{2}ln2$．
數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{3n（n+1）}{2}ln2$．

點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，考查等差數(shù)列的證明，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．