Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{x-2}$+$\frac{2}{\sqrt{4-x}}$的定義域為[2，4）；；值域為[$\sqrt{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)成立的條件建立不等式關(guān)系即可求出函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)即可求出函數(shù)的值域．

解答 解：要使函數(shù)有意義，則$\left\{\begin{array}{l}{x-2≥0}\\{4-x＞0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{x＜4}\end{array}\right.$，即2≤x＜4，即函數(shù)的定義域為[2，4）；
∵y=$\sqrt{x-2}$在定義域上為增函數(shù)，y=$\frac{2}{\sqrt{4-x}}$為增函數(shù)，
∴函數(shù)y=$\sqrt{x-2}$+$\frac{2}{\sqrt{4-x}}$在[2，4）上為增函數(shù)，
∴當x=2時，函數(shù)y=$\sqrt{x-2}$+$\frac{2}{\sqrt{4-x}}$取得最小值y=$\sqrt{2-2}$+$\frac{2}{\sqrt{4-2}}$=$\sqrt{2}$，
故函數(shù)的值域為[$\sqrt{2}$，+∞），
故答案為：[2，4）；[$\sqrt{2}$，+∞）．

點評 本題主要考查函數(shù)的定義域和值域的求解和計算，判斷函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．