Question

1．在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，∠BAD=60°，AB=2，PA=PC=2，PB=PD=$\sqrt{2}$．
（1）若E為線段PD的中點(diǎn)，求證：PB∥平面AEC；
（2）若F為線段PA上的點(diǎn)，且$\frac{PF}{FA}$=λ，則λ為何值時，PA⊥平面BDF？
（3）若G、H、M、N分別為線段AB、CD、PC、PB的中點(diǎn)，求五面體MNGBCH的體積．

Answer 1

分析 （1）連 AC、BD設(shè)交點(diǎn)為O，連結(jié)OE，由三角形的中位線定理可得OE∥PB，再由線面平行的判定得PB∥面AEC；
（2）過O作OF⊥PA，垂足為F，在Rt△POA中，求解直角三角形可得PF=$\frac{1}{2}$，則FA=$\frac{3}{2}$，即$\frac{PF}{FA}=\frac{1}{3}$，知當(dāng)λ=$\frac{1}{3}$時，PA⊥平面BDF；
（3）把五面體MNGBCH分割成四棱錐和三棱柱，分別求解三棱柱和四棱錐的體積作和得答案．

解答 （1）證明：連AC、BD設(shè)交點(diǎn)為O，連結(jié)OE，
∵E為線段PD的中點(diǎn)，ABCD是菱形，
∴O是BD的中點(diǎn)，∴OE為△DPB的中位線，
∴OE∥PB，
∵EO?平面EAC，PB?面EAC內(nèi)，
∴PB∥面AEC；
（2）解：過O作OF⊥PA，垂足為F，
在Rt△POA中，PO=1，AO=$\sqrt{3}$，PA=2，由PO²=PF•PA，
得PF=$\frac{1}{2}$，則FA=$\frac{3}{2}$，∴$\frac{PF}{FA}=\frac{1}{3}$，
又PA⊥BD，
∴PA⊥面FBD，
∴λ=$\frac{1}{3}$時，PA⊥平面BDF；
（3）解：∵底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，
∠BAD=60°，AB=2，PA=PC=2，PB=PD=$\sqrt{2}$．
G、H、M、N分別為線段AB、CD、PC、PB的中點(diǎn)，
∴S_{四邊形BCHG}=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2×2×sin60°$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
過M作BN、GN的平行線，把五面體MNGBCH分割成四棱錐和三棱柱，
∴五面體MNGBCH的體積為：V=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2×sin60°×\frac{1}{2}×1+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點(diǎn)評 本題考查直線與平面平行、直線與平面垂直的判定，考查了利用等積法求多面體的體積，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．