Question

2．在（x+$\frac{3}{\sqrt{x}}$）ⁿ的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)和之比為64，則x³的系數(shù)為（　　）

• A． 15
• B． 45
• C． 135
• D． 405

Answer 1

分析 對(duì)于二項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的和可以通過(guò)賦值令x=1來(lái)求解，而各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和由二項(xiàng)式系數(shù)公式可知為2ⁿ，最后通過(guò)比值關(guān)系為64即可求出n的值，利用二項(xiàng)式定理的展開(kāi)式中的通項(xiàng)，再求出特定項(xiàng)的系數(shù)，求出所求即可

解答 解：令（x+$\frac{3}{\sqrt{x}}$）ⁿ中x為1得各項(xiàng)系數(shù)和為4ⁿ，
又展開(kāi)式的各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為2ⁿ，
∵各項(xiàng)系數(shù)的和與各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和之比為64，
∴$\frac{{4}^{n}}{{2}^{n}}$=64，
解得n=6，
∴二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T_r+1=C₆^r•3^r•${x}^{6-\frac{3}{2}r}$，
令6-$\frac{3}{2}$r=3，求得r=2，故開(kāi)式中含x³項(xiàng)系數(shù)為C₆²•3²=135，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．