Question

若直線l：ax-by=1與不等式組

y＜1 3x-y-2＜0 3x+y+2＞0

表示的平面區(qū)域無公共點(diǎn)，則3a-2b的最小值與最大值的和等于

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用直線ax+by=1與平面區(qū)域無公共點(diǎn)建立條件關(guān)系，即可得到結(jié)論．

解答： 解：不等式組

y＜1 3x-y-2＜0 3x+y+2＞0

表示的平面區(qū)域是由A（-1，1），B（1，1），C（0，-2）圍成的三角形區(qū)域（不包含邊界）．
若直線l：ax-by=1與不等式組

y＜1 3x-y-2＜0 3x+y+2＞0

表示的平面區(qū)域無公共點(diǎn)，
則A，B，C三點(diǎn)在直線l的同側(cè)或在直線上，
則滿足

-a-b≥1 a-b≥1 2b≥1

或

-a-b≤1 a-b≤1 2b≤1

．
則（a，b）在如圖所示的三角形區(qū)域．
設(shè)z=3a-2b，得b=

3

2

a-

z

2

，
平移直線b=

3

2

a-

z

2

，
得到直線在A處的截距最大，此時(shí)z最小，
則在B處的截距最小，此時(shí)z最大，
由

2b=1 a-b=1

解得

a= 3 2 b= 1 2

，即B（

3

2

，

1

2

），此時(shí)z=3×

3

2

-2×

1

2

=

7

2

，
由

2b=1 -a-b=1

，解得

a=- 3 2 b= 1 2

，即B（-

3

2

，

1

2

），此時(shí)z=3×（-

3

2

）-2×

1

2

=-

11

2

，
則3a-2b的最小值與最大值的和等于

7

2

-

11

2

=-2，
故答案為：-2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．難度較大．