Question

4．求證：$\sqrt{x}-\sqrt{x-1}＜\sqrt{x-2}-\sqrt{x-3}（x≥3）$．

Answer 1

分析 運(yùn)用分析法證明．要證原不等式成立，由分子有理化可得$\sqrt{x}$+$\sqrt{x-1}$＞$\sqrt{x-2}$+$\sqrt{x-3}$，運(yùn)用不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 證明：運(yùn)用分析法證明．
要證$\sqrt{x}$-$\sqrt{x-1}$＜$\sqrt{x-2}$-$\sqrt{x-3}$（x≥3），
即證$\frac{x-（x-1）}{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}}$＜$\frac{（x-2）-（x-3）}{\sqrt{x-2}+\sqrt{x-3}}$，
即有$\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}}$＜$\frac{1}{\sqrt{x-2}+\sqrt{x-3}}$，
即為$\sqrt{x}$+$\sqrt{x-1}$＞$\sqrt{x-2}$+$\sqrt{x-3}$，
由x≥3，可得$\sqrt{x}$＞$\sqrt{x-2}$，$\sqrt{x-1}$＞$\sqrt{x-3}$，
即有上式成立．
綜上可得原不等式成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用分析法和不等式的性質(zhì)，考查化簡(jiǎn)和推理能力，屬于基礎(chǔ)題．