Question

13．如圖，A（2，0）是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）長軸右端點(diǎn)，點(diǎn)B，C在橢圓C上，BC過橢圓O，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=0，|$\overrightarrow{OC}$|=|$\overrightarrow{AC}$|，M，N為橢圓上異于A，B的不同兩點(diǎn)，∠MCN的角平分線垂直于x軸．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）問是否存在實(shí)數(shù)λ，使得$\overrightarrow{MN}$=λ$\overrightarrow{BA}$，若存在，求出λ的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）由題意可得：a=2，由$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=0，|$\overrightarrow{OC}$|=|$\overrightarrow{AC}$|，可得：C（1，1），代入橢圓方程可得：$\frac{1}{4}+\frac{1}{^{2}}$=1，解得：b²，即可得出故所求的橢圓方程．
（II）對于橢圓上兩點(diǎn)M，N，∠MCN的角平分線垂直于x軸．MC，NC所在的直線共有直線x=1對稱，即k_MC=-k_NC．故可設(shè)MC所在直線方程為：y=k（x-1）+1，則NC所在直線方程為：y=-k（x-1）+1．把代入橢圓方程可得：（1+3k²）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0，由C（1，1）在橢圓上，故x=1是上述方程的一個實(shí)數(shù)根，可得x_M，同理可得：x_N，可得k_MN．由∠ACB=90°，A（2，0），C（1，1），弦BC過橢圓的中心O，可得B（-1，-1），可得k_AB，若斜率相等可得存在實(shí)數(shù)λ，使得$\overrightarrow{MN}$=λ$\overrightarrow{BA}$，分別計(jì)算$|\overrightarrow{MN}|$及其最大值，$|\overrightarrow{AB}|$，即可λ_max．

解答 解：（I）由題意可得：a=2，由$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=0，|$\overrightarrow{OC}$|=|$\overrightarrow{AC}$|，可得：C（1，1），
代入橢圓方程可得：$\frac{1}{4}+\frac{1}{^{2}}$=1，解得：b²=$\frac{4}{3}$，
故所求的橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{3{y}^{2}}{4}$=1．
（II）對于橢圓上兩點(diǎn)M，N，∵∠MCN的角平分線垂直于x軸．
∴MC，NC所在的直線共有直線x=1對稱，即k_MC=-k_NC．
∵C（1，1），故可設(shè)MC所在直線方程為：y=k（x-1）+1，①
則NC所在直線方程為：y=-k（x-1）+1．②
把①代入橢圓方程可得：（1+3k²）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0，③
∵C（1，1）在橢圓上，故x=1是方程③的一個實(shí)數(shù)根，
∴x_M=$\frac{3{k}^{2}-6k-1}{1+3{k}^{2}}$，同理可得：x_N=$\frac{3{k}^{2}+6k-1}{1+3{k}^{2}}$，
∴k_MN=$\frac{k（{x}_{M}+{x}_{N}）-2k}{{x}_{M}-{x}_{N}}$=$\frac{1}{3}$．
∵∠ACB=90°，A（2，0），C（1，1），弦BC過橢圓的中心O，
∴B（-1，-1），∴k_AB=$\frac{1}{3}$，
故存在實(shí)數(shù)λ，使得$\overrightarrow{MN}$=λ$\overrightarrow{BA}$，$|\overrightarrow{MN}|$=$\sqrt{（\frac{-12k}{1+3{k}^{2}}）^{2}+（\frac{-4k}{1+3{k}^{2}}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{160}{9{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+6}}$≤$\frac{2\sqrt{30}}{3}$．當(dāng)且僅當(dāng)9k²=$\frac{1}{{k}^{2}}$時(shí)，即k=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)取得等號．
又∵$|\overrightarrow{AB}|$=$\sqrt{10}$，∴λ_max=$\frac{\frac{2\sqrt{30}}{3}}{\sqrt{10}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、兩點(diǎn)之間的距離公式、基本不等式的性質(zhì)、斜率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．