Question

8．第31屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2016年8月5日-21日在巴西里約熱內(nèi)盧舉行，下表是近五屆奧運(yùn)會(huì)中國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的統(tǒng)計(jì)表（單位：枚）

屆次	第26屆（亞特蘭大）	第27屆（悉尼）	第28屆（雅典）	第29屆（北京）	第30屆（倫敦）
序號(hào)x	1	2	3	4	5
金牌數(shù)y	16	28	32	51	38

（1）某同學(xué)利用地1、2、3、5四組數(shù)據(jù)建立金牌數(shù)$\stackrel{∧}{y}$關(guān)于序號(hào)x的回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=5.0857x+14.514，據(jù)此回歸方程預(yù)測第31屆夏季奧運(yùn)會(huì)中國隊(duì)獲得的金牌數(shù)（計(jì)算結(jié)果四舍五入，保留整數(shù)）；
（2）試根據(jù)上述五組數(shù)據(jù)建立金牌數(shù)$\stackrel{∧}{y}$關(guān)于序號(hào)x的回歸方程，并據(jù)求得的回歸方程預(yù)測第31屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)中國隊(duì)獲得的金牌數(shù)（計(jì)算結(jié)果四舍五入，保留整數(shù)）；
（3）利用（2）的結(jié)論填寫下表（結(jié)算結(jié)果四舍五入，保留整數(shù)）：

屆次	第26屆（亞特蘭大）	第27屆（悉尼）	第28屆（雅典）	第29屆（北京）	第30屆（倫敦）
序號(hào)x	1	2	3	4	5
金牌數(shù)y	16	28	32	51	38
預(yù)測值$\stackrel{∧}{y}$
y-$\stackrel{∧}{y}$

如果|y-$\stackrel{∧}{y}$|≤4，則稱（2）中的方程對該屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)中國隊(duì)獲得金牌數(shù)是“特效”的，否則稱為“非特效”的，現(xiàn)從上述五屆奧運(yùn)會(huì)中任取三屆，記（2）中的回歸直線方程為“特效”的屆數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
參考公式：$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-x）（{y}_{i}-y）}{（{x}_{i}-x）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}{y}_{i}）-n\overline{xy}}{{\sum_{i=1}^{n}x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=5.0857x+14.514，計(jì)算x=6時(shí)$\stackrel{∧}{y}$的值；
（2）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，計(jì)算$\overline{x}$、$\overline{y}$與$\stackrel{∧}$、$\stackrel{∧}{a}$的值，得出回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=6.7x+12.9，并計(jì)算x=6時(shí)$\stackrel{∧}{y}$的值；
（3）利用（2）的結(jié)論填表，得出|y-$\stackrel{∧}{y}$|≤4的數(shù)據(jù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（1）根據(jù)金牌數(shù)$\stackrel{∧}{y}$關(guān)于序號(hào)x的回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=5.0857x+14.514，
所以x=6時(shí)，$\stackrel{∧}{y}$=5.0857×6+14.514≈45，
據(jù)此回歸方程預(yù)測第31屆夏季奧運(yùn)會(huì)中國隊(duì)獲得的金牌數(shù)45；
（2）根據(jù)上述五組數(shù)據(jù)，計(jì)算$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（1+2+3+4+5）=3，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（16+28+32+51+38）=33；
$\stackrel{∧}$=$\frac{（1-3）（16-33）+（2-3）（28-33）+（3-3）（32-33）+（4-3）（51-33）+（5-3）（38-33）}{{（1-3）}^{2}{+（2-3）}^{2}{+（3-3）}^{2}{+（4-3）}^{2}{+（5-3）}^{2}}$=6.7，
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$=33-6.7×3=12.9．
金牌數(shù)$\stackrel{∧}{y}$關(guān)于序號(hào)x的回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=6.7x+12.9，
x=6，$\stackrel{∧}{y}$=6.7×6+12.9≈53，
預(yù)測第31屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)中國隊(duì)獲得的金牌數(shù)53；
（3）利用（2）的結(jié)論填寫下表（結(jié)算結(jié)果四舍五入，保留整數(shù)）：

屆次	第26屆（亞特蘭大）	第27屆（悉尼）	第28屆（雅典）	第29屆（北京）	第30屆（倫敦）
序號(hào)x	1	2	3	4	5
金牌數(shù)y	16	28	32	51	38
預(yù)測值$\stackrel{∧}{y}$	19	26	33	40	46
y-$\stackrel{∧}{y}$	-3	2	-1	11	-8

滿足|y-$\stackrel{∧}{y}$|≤4的數(shù)據(jù)有3組，即獲得金牌數(shù)是“特效”的有3組，則X的取值可能為1，2，3；
計(jì)算P（X=1）=品數(shù)X的可能值為1，2，3．
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{•C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{10}$，P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{•C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{1}{10}$，
所以X的分布列為

X	1	2	3
P	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{10}$

X的數(shù)學(xué)期望為EX=1×$\frac{3}{10}$+2×$\frac{3}{5}$+3×$\frac{1}{10}$=$\frac{9}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了古典概型的概率以及離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問題，是綜合性題目．