Question

2．已知1≤a≤3，若f（x）=x²-2ax+1在區(qū)間[1，3]上的最大值為M（a），最小值為N（a），令g（a）=M（a）-N（a）．（1）求g（a）的函數表達式；
（2）求出g（a）的最小值與最大值．

Answer 1

分析 配方法化簡f（x）=x²-2ax+1=（x-a）²+1-a²，從而根據二次函數的性質討論寫出g（a）的表達式，再分類討論求最值．

解答 解：f（x）=x²-2ax+1=（x-a）²+1-a²，
（1）由二次函數的性質可得，
N（a）=f（a）=1-a²，
當1≤a≤2時，M（a）=f（3）=10-6a，
當2＜a≤3時，M（a）=f（1）=2-2a，
故g（a）=M（a）-N（a）=$\left\{\begin{array}{l}{（a-3）^{2}，1≤a≤2}\\{（a-1）^{2}，2＜a≤3}\end{array}\right.$，
（2）由（1）知，當1≤a≤2時，1≤g（a）≤4；
當2＜a≤3時，1＜g（a）≤4；
故g（a）的最大值為4，最小值為1．

點評 本題考查了二次函數的性質的判斷與應用，同時考查了分類討論的思想應用，屬于中檔題．