考點:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:由圖象可知:經(jīng)過原點,可得f(0)=0=d,即f(x)=ax
3+bx
2+cx..由圖象可得:函數(shù)f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞減,函數(shù)f(x)在x=-1處取得極大值.可得f′(x)≤0在[-1,1]上恒成立,且f′(-1)=0.利用且f′(1)<0,f′(2)>0即可得到b<0,3a+2b>0,設(shè)k=
,則k=
,求k的最值,進而得出結(jié)論.
解答:解:由圖象可知:經(jīng)過原點,∴f(0)=0=d,
∴f(x)=ax
3+bx
2+cx.
由圖象可得:函數(shù)f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞減,函數(shù)f(x)在x=-1處取得極大值.
∴f′(x)=3ax
2+2bx+c≤0在[-1,1]上恒成立,且f′(-1)=0.
得到3a-2b+c=0,即c=2b-3a,
∵f′(1)=3a+2b+c<0,
∴4b<0,即b<0,
∵f′(2)=12a+4b+c>0,
∴3a+2b>0,
設(shè)k=
,則k=
,
建立如圖所示的坐標(biāo)系,則點A(-1,-2),
則k=
式中變量a、b滿足下列條件
,
作出可行域如圖:
∴k的最大值就是k
AB=
,k的最小值就是k
CD,而k
CD就是直線3a+2b=0的斜率,k
CD=-
,
∴
-<k<.
∴故選A.
點評:本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值、數(shù)形結(jié)合等基礎(chǔ)知識與基本方法.