有一條由西向東的河流，甲城位于河西頭的南岸邊，乙城位于河東頭離南岸6km處，乙城到河南岸的垂足與甲城相距30km，兩城要在此河南岸設一水廠取水，從水廠到甲、乙兩城分別按直線埋放水管，其費用分別為每千米2000元和2500元，問此水廠應設在何處，才能使埋放水管的費用最省？并求出最省的水管費用．
考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用
專題：應用題,導數(shù)的綜合應用
分析：設水廠與乙城到河岸的垂直距離為xkm，則與甲城距離為（30-x）km，與乙城距離為
36+x2
km，埋放水管的總費用為y=2000（30-x）+2500
36+x2
（0≤x≤30），利用導數(shù)可得函數(shù)極值點，由實際意義可知即為最值點．
解答： 解：設水廠與乙城到河岸的垂直距離為xkm，則與甲城距離為（30-x）km，與乙城距離為
36+x2
km，
埋放水管的總費用為y=2000（30-x）+2500
36+x2
（0≤x≤30），
∴y′=-2000+
2500
36+x2
，
令y′=0，解得x=±8（負值舍去），
當x=8時，y=69000（元），
又當x=0時，y=75000，當x=30時，y=15000
26
＞75000，
在x∈[0，30]中僅有一個極值點，且69000＜75000．
故當水廠與甲城距離為22km時，費用最省為69000元．
點評：該題考查導數(shù)在實際問題中的應用、利用導數(shù)求函數(shù)的最值，考查學生的應用意識．
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9
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