Question

11．己知O為坐標原點，雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線分別為l₁，l₂，右焦點為F，以OF為直徑作圓交l₁于異于原點O的點A，若點B在l₂上，且$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{FA}$，則雙曲線的離心率等于（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線的方程和圓的方程，聯立方程求出A，B的坐標，結合點B在漸近線y=-$\frac{a}$x上，建立方程關系進行求解即可．

解答 解：雙曲線的漸近線方程l₁，y=$\frac{a}$x，l₂，y=-$\frac{a}$x，
F（c，0），
圓的方程為（x-$\frac{c}{2}$）²+y²=$\frac{{c}^{2}}{4}$，將y=$\frac{a}$x代入（x-$\frac{c}{2}$）²+y²=$\frac{{c}^{2}}{4}$，
得（x-$\frac{c}{2}$）²+（$\frac{a}$x）²=$\frac{{c}^{2}}{4}$，
即$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$x²=cx，則x=0或x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，當x=$\frac{{a}^{2}}{c}$時，y═$\frac{a}$•$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{ab}{c}$，即A（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），
設B（m，n），則n=-$\frac{a}$•m，
則$\overrightarrow{AB}$=（m-$\frac{{a}^{2}}{c}$，n-$\frac{ab}{c}$），$\overrightarrow{FA}$=（$\frac{{a}^{2}}{c}$-c，$\frac{ab}{c}$），
∵$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{FA}$，
∴（m-$\frac{{a}^{2}}{c}$，n-$\frac{ab}{c}$）=2（$\frac{{a}^{2}}{c}$-c，$\frac{ab}{c}$）
則m-$\frac{{a}^{2}}{c}$=2（$\frac{{a}^{2}}{c}$-c），n-$\frac{ab}{c}$=2•$\frac{ab}{c}$，
即m=$\frac{3{a}^{2}}{c}$-2c，n=$\frac{3ab}{c}$，
即$\frac{3ab}{c}$=-$\frac{a}$•（$\frac{3{a}^{2}}{c}$-2c）=-$\frac{3ab}{c}$+$\frac{2bc}{a}$，
即$\frac{6ab}{c}$=$\frac{2bc}{a}$，
則c²=3a²，
則$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，
故選：B．

點評 本題主要考查雙曲線離心率的計算，根據條件建立方程組關系，求出交點坐標，轉化為a，c的關系是解決本題的關鍵．考查學生的計算能力．